Question

Помогите пожалуйста решить Дана функция: у=х^2+2х+3Найдите:а) интервалы возрастания и убывания;б) экстремумыв) её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-1;2]. Запишите уравнение касательной графику функции в точке с абциссой х↓0=-2​

Answer 1

Ответ:

у'=2х+2

б)  2х+2=0 имеем х= -1 точка экстремума

а) от -∞, -1 функция убывает, от  -1, +∞  возрастает

в) на отрезке [-1;2] функция возрастает, отсюда  -1 наименшее значение, 2 - наибольшее

уравнение касательной

в т. х=0  у=2х+3

в т. х= -2  у= -2(х+2)+3= -2х-1

Объяснение:

необходимо взять производную

Answer 2

Давайте поочередно решим каждый из ваших запросов:

а) Интервалы возрастания и убывания функции: Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, нам нужно вычислить производную функции и определить знак производной на различных интервалах.

Сначала найдем производную функции y = x^2 + 2x + 3: y' = 2x + 2.

Теперь определим, когда производная положительна (функция возрастает) и когда она отрицательна (функция убывает):

2x + 2 > 0 2x > -2 x > -1.

Итак, функция возрастает на интервале (-бесконечность, -1) и убывает на интервале (-1, +бесконечность).

б) Экстремумы функции: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, где производная обращается в нуль.

2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1.

Таким образом, у нас есть одна стационарная точка x = -1. Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, мы можем воспользоваться второй производной тестом или анализом знака производной в окрестности этой точки. Поскольку у нас только одна точка, мы можем провести анализ знака производной:

Выбираем тестовую точку, например, x = 0: 2x + 2 > 0 при x = 0 (производная положительна).

Значит, x = -1 является локальным минимумом функции.

в) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-1;2]: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке, вычислим значения функции в конечных точках отрезка и в точке x = -1 (минимум функции).

1. В точке x = -1: y(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2.

2. В точке x = -1: y(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2.

3. В точке x = 2: y(2) = 2^2 + 2*2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1;2] равно 11, а наименьшее значение равно 2.

г) Уравнение касательной в точке с абсциссой x₀ = 0: Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке x₀ = 0, мы можем использовать формулу для уравнения касательной к графику функции:

y - y₀ = m(x - x₀),

где (x₀, y₀) - точка, в которой строится касательная, и m - угловой коэффициент касательной, который равен значению производной функции в этой точке.

Мы уже вычислили значение функции в точке x₀ = 0: y(0) = 0^2 + 2*0 + 3 = 3.

Теперь вычислим производную функции в этой точке: y'(0) = 2*0 + 2 = 2.

Итак, у нас есть точка (0, 3) и угловой коэффициент m = 2. Подставляем все в формулу:

y - 3 = 2(x - 0).

y - 3 = 2x.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x₀ = 0 равно: y = 2x + 3.