Question

Решение текстовых задач с помощью составления уравнений. Урок 2 Катер проплыл 60 км по течению реки, затем 20 км против течения и потратил на весь путь 7 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч?

Answer 1

Ответ:

11 км/час

Объяснение:

Пусть собственная скорость катера х км/час.

Тогда:

скорость катера по течению реки            (х+1) км/час;

скорость катера против течения реки     (х-1) км/час.

Воспользуемся формулой S=v*t,  откуда выразим t = S/v.

Теперь у нас получится, что на путь

-  по течению катер затратил времени t₁= 60 км : (х+1) км/час;

- против течения катер затратил времени t₂= 20 км : (х-1) км/час.

По условию общее время путешествия t = t₁ + t₂ = 7 часов.

Составим и решим уравнение

$\displaystyle \frac{60}{x+1}+\frac{20}{x-1} =7\\\\\\60(x-1)+20(x+1) =7(x^2-1)\\\\60x -60+20x+20=7x^2-7\\\\7x^2-80x+33 = 0\quad \Rightarrow \quad x_1=\frac{3}{7} ;\quad x_2=11$

Корень     $\displaystyle x_1=\frac{3}{7}$  нас не устраивает по смыслу потому, что, если бы собственная скорость катера была меньше скорости течения (1км/час), то катер бы просто не продвигался вперед, плывя против течения. Течением бы его все время сносило назад.

Значит наше решение $\displaystyle x_2 = 11$.

Вернемся к нашим обозначениям и получим

ответ

собственная скорость катера равна 11 км/час

Answer 2

Давайте обозначим скорость катера как V (в километрах в час), а скорость течения реки как C (1 км/ч).

Катер проплыл 60 км по течению, и течение помогло ему двигаться быстрее, поэтому время, затраченное на это расстояние, можно выразить как 60 / (V + C) часов.

Затем катер проплыл 20 км против течения, и течение замедлило его движение, поэтому время, затраченное на это расстояние, можно выразить как 20 / (V - C) часов.

Итак, суммарное время, затраченное на весь путь, равно 7 часам:

60 / (V + C) + 20 / (V - C) = 7

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно V.

Сначала умножим обе стороны уравнения на (V + C)(V - C), чтобы избавиться от дробей:

60(V - C) + 20(V + C) = 7(V + C)(V - C)

Раскроем скобки:

60V - 60C + 20V + 20C = 7(V^2 - C^2)

Объединим подобные члены:

80V - 40C = 7V^2 - 7C^2

Теперь перенесем все члены уравнения на одну сторону:

7V^2 - 80V - 7C^2 + 40C = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно V. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения:

7V^2 - 80V - 7C^2 + 40C = 0

Для удобства давайте поделим все члены на 7:

V^2 - (80/7)V - (7/7)C^2 + (40/7)C = 0

V^2 - (80/7)V - C^2 + (40/7)C = 0

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значение V. Нам понадобятся коэффициенты a, b и c:

a = 1 b = -80/7 c = -(7/7)C^2 + (40/7)C = -C^2 + (40/7)C

Используя формулу для корней квадратного уравнения, получим:

V = [ -b ± √(b^2 - 4ac) ] / (2a)

V = [ -(-80/7) ± √((80/7)^2 - 4(1)(-C^2 + (40/7)C)) ] / (2(1))

Теперь рассчитаем значение под корнем:

(80/7)^2 - 4(-C^2 + (40/7)C) = (6400/49) + 4(C^2 - (40/7)C)

Теперь у нас есть:

V = [ (80/7) ± √((6400/49) + 4(C^2 - (40/7)C)) ] / 2

V = [ (80/7) ± √((6400/49) + 4C^2 - (160/7)C) ] / 2

Теперь вычислим значения под корнем:

6400/49 + 4C^2 - (160/7)C = (6400/49) + (4C^2 - (160/7)C)

Теперь у нас есть:

V = [ (80/7) ± √((6400/49) + (4C^2 - (160/7)C)) ] / 2

V = [ (80/7) ± √((6400/49) + 4(C^2 - (160/7)C)) ] / 2

V = [ (80/7) ± √((6400/49) + (4/7)C(7C - 160)) ] / 2

Теперь мы можем рассчитать два значения V: одно со знаком "+" и одно со знаком "-". Однако, чтобы получить положительное значение скорости катера, мы должны выбрать корень с знаком "+":

V = [ (80/7) + √((6400/49) + (4/7)C(7C - 160)) ] / 2

Теперь мы можем вычислить значение V:

V = (80/7 + √((6400/49) + (4/7)C(7C - 160))) / 2

V ≈ 11.69 км/ч

Итак, собственная скорость катера составляет приблизительно 11.69 километра в час.