Question

Решить систему 2*x^2 +2*y^2-3*x*y=14 x^2 -y^2+x*y=5 . РЕШЕНИЕ ! Ответы есть . Объясните ,что делать ,что складывать.Сижу час , не знаю,что делать

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{2x^2+2y^2-3xy=14} \atop {x^2-y^2+xy=5|*2.8}} \right.\\\\\left \{ {{2x^2+2y^2-3xy=14} \atop {2.8x^2-2.8y^2+2.8xy=14}} \right.$

вычтем из 2 уравнения первое

$\displaystyle 0.8x^2-4.8y^2+5.8xy=0|:y^2\neq 0\\\\0.8(\frac{x}{y})^2+5.8(\frac{x}{y} )-4.8=0|*5\\\\4(\frac{x}{y})^2+29(\frac{x}{y})-24=0\\\\\frac{x}{y} =t\\\\4t^2+29t-24=0\\\\D=841+384=1225=35^2\\\\t_{1.2}=\frac{-29 \pm 35}{8}\\\\t_1=-8; t_2=\frac{3}{4}$

$\displaystyle t_1=-8; \frac{x}{y} =-8; x=-8y\\\\(-8y)^2-y^2+(-8y)y=5\\\\y^2(64-1-8)=5\\\\55y^2=5\\\\y= \pm \frac{1}{\sqrt{11}}\\\\x_1=-\frac{8}{\sqrt{11}}; y_1=\frac{1}{\sqrt{11}}\\\\x_2=\frac{8}{\sqrt{11}}; y_2=-\frac{1}{\sqrt{11}}$

$\displaystyle t_2=\frac{3}{4}; \frac{x}{y}=\frac{3}{4}; 4x=3y; x=\frac{3}{4}y\\\\(\frac{3}{4}y)^2-y^2+(\frac{3}{4}y)y=5\\\\y^2(\frac{9}{16}-1+\frac{3}{4})=5\\\\\frac{5}{16}y^2=5\\\\y^2=16\\\\y_3=4; x_3=3\\\\y_4=-4; x_4=-3$

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений методом исключения. Сначала представим одно из уравнений в виде выражения относительно одной из переменных, а затем подставим это выражение в другое уравнение для того, чтобы получить уравнение с одной переменной.

У нас есть следующая система:

1. $2x^2 + 2y^2 - 3xy = 14$
2. $x^2 - y^2 + xy = 5$

Давайте начнем с выразить, например, $x^2$ из второго уравнения:

$x^2 = 5 + y^2 - xy$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$2(5 + y^2 - xy) + 2y^2 - 3xy = 14$

Упростим уравнение:

$10 + 2y^2 - 2xy + 2y^2 - 3xy = 14$

Просуммируем похожие члены:

$4y^2 - 5xy + 10 = 14$

Теперь выразим $xy$ из этого уравнения:

$5xy = 4y^2 - 4$

$xy = \frac{4y^2 - 4}{5}$

Теперь у нас есть выражение для $xy$. Мы можем подставить это во второе уравнение:

$5 + y^2 - \frac{4y^2 - 4}{5} = 5$

Упростим уравнение:

$5 + y^2 - \frac{4y^2 - 4}{5} = 5$

Переносим все члены на одну сторону:

$y^2 - \frac{4y^2 - 4}{5} = 0$

Упростим:

$\frac{y^2}{5} - \frac{4y^2}{5} + \frac{4}{5} = 0$

$\frac{-3y^2}{5} + \frac{4}{5} = 0$

Теперь решим это уравнение:

$\frac{-3y^2}{5} + \frac{4}{5} = 0$

$-3y^2 + 4 = 0$

$3y^2 = 4$

$y^2 = \frac{4}{3}$

$y = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Теперь мы найдем значения $x$ с помощью выражения для $xy$:

$x = \frac{4y^2 - 4}{5y}$

Подставим $y = \sqrt{\frac{4}{3}}$:

$x = \frac{4\left(\frac{4}{3}\right) - 4}{5\sqrt{\frac{4}{3}}}$

$x = \frac{\frac{16}{3} - 4}{5\sqrt{\frac{4}{3}}}$