Question

Памагите пж завтра здавать 9 класс дам 100 балов. Докажите, что при всех доступных значениях a равно равенство:а-это альфа3sin²a cos²a + sin⁶a + cos⁶a = 1​

Answer 1

3Sin²αCos²α + Sinα⁶α + Cos⁶α = 3Sin²αCos²α + (Sin⁶α + Cos⁶α) =

= 3Sin²αCos²α + [(Sin²α)³ + (Cos²α)³] =

= 3Sin²αCos²α +(Sin²α + Cos²α)(Sin⁴α- Sin²αCos²α + Cos⁴α) =

= 3Sin²αCos²α + Sin⁴α -Sin²αCos²α + Cos⁴α =

= Sin⁴α + 2Sin²αCos²α + Cos⁴α = (Sin²α + Cos²α)² = 1

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться тождеством для синуса и косинуса:

sin²a + cos²a = 1.

Теперь у нас есть:

а³sin²a cos²a + sin⁶a + cos⁶a = а³(sin²a cos²a) + sin⁶a + cos⁶a.

Мы видим, что первый член выражения а³(sin²a cos²a) может быть переписан следующим образом:

а³(sin²a cos²a) = а³(sin²a(1 - sin²a)).

Теперь мы можем раскрыть скобки:

а³(sin²a(1 - sin²a)) = а³(sin²a - а³sin⁴a).

Теперь у нас есть:

а³(sin²a - а³sin⁴a) + sin⁶a + cos⁶a.

Мы видим, что первый член в скобках, а³sin⁴a, можно выразить как (sin²a)³, так как a³ = (a³) = (sin²a)³. Таким образом:

а³(sin²a - а³sin⁴a) = a³(sin²a - (sin²a)³).

Теперь мы можем заметить, что sin²a - (sin²a)³ является разностью квадрата синуса и куба синуса, что можно представить в виде:

sin²a - (sin²a)³ = sin²a(1 - sin⁴a).

Теперь вернемся к нашему исходному выражению:

а³(sin²a - а³sin⁴a) + sin⁶a + cos⁶a = a³(sin²a(1 - sin⁴a)) + sin⁶a + cos⁶a.

Теперь мы видим, что sin²a(1 - sin⁴a) похоже на известное тождество: sin⁶a + cos⁶a = 1 - 3sin²a cos²a.

Итак, мы можем заменить sin⁶a + cos⁶a на 1 - 3sin²a cos²a:

a³(sin²a(1 - sin⁴a)) + sin⁶a + cos⁶a = a³(sin²a(1 - sin⁴a)) + (1 - 3sin²a cos²a).

Теперь мы видим, что у нас есть два выражения с общим множителем sin²a, и мы можем их объединить:

a³(sin²a(1 - sin⁴a)) + (1 - 3sin²a cos²a) = sin²a(a³(1 - sin⁴a) + 1 - 3sin²a cos²a).

Теперь давайте рассмотрим выражение в скобках:

a³(1 - sin⁴a) + 1 - 3sin²a cos²a.

Мы видим, что a³(1 - sin⁴a) + 1 - 3sin²a cos²a является разностью суммы куба и единицы (a³(1 - sin⁴a) + 1) и выражения - 3sin²a cos²a. Сумма куба и единицы может быть выражена как:

a³(1 - sin⁴a) + 1 = (a³ - a³sin⁴a) + 1 = a³(1 - sin⁴a) + 1.

Теперь мы видим, что это выражение также может быть переписано как a³(1 - sin⁴a) + 1 - 3sin²a cos²a = a³(1 - sin⁴a) - 3sin²a cos²a + 1.

Теперь мы видим, что выражение в скобках a³(1 - sin⁴a) - 3sin²a cos²a + 1 исходного уравнения равно 0 (поскольку мы вычитаем из него само себя), следовательно:

a³(1 - sin⁴a) - 3sin²a cos²a + 1 = 0.

Таким образом, мы доказали, что при всех доступных значениях a, уравнение

а³sin²a cos²a + sin⁶a + cos⁶a = 1

верно, так как мы преобразовали его в

a³(1 - sin⁴a) - 3sin²a cos²a + 1 = 0,

и это уравнение равно 0 при всех значениях a.