Question

(помогите с домашним)Докажите тождества: а) sin^4 альфа - cos^4 альфа=sin^2 альфа - cos^2 альфаб) sin альфа/1-cos альфа = 1+сos альфа/sin альфа #2. Упростите выражения:а) (1+tg^2 альфа)* cos^2 альфа.б) (tg альфа+ctg альфа)^2 - (tg альфа - ctg альфа)^2

Answer 1

A)(sin²α)²-(cos²α)²=(sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)=sin²α-cos²α
б)sinα/(1+cosα)-(1+cosα)/sinα=(sin²α-(1-cos²α))/(1-cosα)sinα=(sin²α-1+cos²α)/(1-cosα)sinα=0  разность левой и правой частей равна 0, значит тождество доказано
№2а)(1+sin²α/cos²α)cos²α=cos²α+sin²α=1
б)(tgα+ctgα-tgα+ctgα)(tgα+ctgα+tgα-ctgα)=2ctgα×2tgα=4

Answer 2

Давайте решим каждую из задач.

Задача а):

\[ \sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) \]

Для доказательства этого тождества воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

\[ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))(\sin(\alpha) - \cos(\alpha)) \]

Теперь докажем, что \(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha)\) также равно этому выражению:

\[ \sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))(\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)) \]

Так как \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\), мы получаем:

\[ (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))(\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) \]

Таким образом, мы доказали тождество \( \sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) \).

Задача б):

\[ \frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)} + \frac{1}{\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)} \]

Для доказательства этого тождества приведем обе стороны к общему знаменателю:

\[ \frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)} + \frac{1}{\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{1}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{1 - \cos(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} + \frac{1 - \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

Объединим дроби:

\[ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) + (1 - \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) + 1 - \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} + \frac{1}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\cos(\alpha)(\sin(\alpha) - 1)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} + \frac{1}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) - 1}{1 - \cos(\alpha)} + \frac{1}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) - 1 + \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

Теперь упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} = \frac{(\sin(\alpha) - \cos(\alpha)) + 2\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} + \frac{2}{1 - \cos(\alpha)} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} - \frac{2}{\cos(\alpha)} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) - \cos(\alpha) - 2}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\sin(\alpha) - \cos(\alpha) - 2}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))} \cdot \frac{\frac{1}{\sin(\alpha)}}{\frac{1}{\sin(\alpha)}} \]

\[ \frac{\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{2}{\sin(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{1 - \cot(\alpha) - \frac{2}{\sin(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{1 - \cot(\alpha) - \frac{2}{\sin(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}(1 - \cos(\alpha))} \cdot \frac{\frac{1}{\cos(\alpha)}}{\frac{1}{\cos(\alpha)}} \]

\[ \frac{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \cot(\alpha) - \frac{2}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{(1 - \cos(\alpha))} - \frac{\frac{2}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{- \cot(\alpha)}{(1 - \cos(\alpha))} - \frac{\frac{2}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{(1 - \cos(\alpha))} \]

\[ \frac{-\cot(\alpha)