Question

Докажите тождества: a) cos^2 альфа + tg^2 альфа + sin^2 альфа = tg^2 альфа +1 б) sin^2 альфа - cos^2 альфа +1 = 2 sin^ альфа в) (sin альфа +1) (sin альфа -1) = -cos^2 альфа г) tg альфа + ctg альфа = 1\cos альфа * sin альфа

Answer 1

Cos^2+sin^2=1
tg^2+1=tg^2+1


cos^2+1=-sin^2
sin^2+sin^2=2sin^2


sin^2-1=-cos^2
-cos^2=-cos^2

Answer 2

a) Используя определения тригонометрических функций и формулу Пифагора, имеем:

cos^2 альфа + tg^2 альфа + sin^2 альфа = cos^2 альфа + (sin^2 альфа/cos^2 альфа) + sin^2 альфа = (cos^4 альфа + sin^4 альфа + sin^2 альфа * cos^2 альфа) / cos^2 альфа = (cos^4 альфа + sin^4 альфа + 2 * sin^2 альфа * cos^2 альфа - 2 * sin^2 альфа * cos^2 альфа) / cos^2 альфа = [(cos^2 альфа + sin^2 альфа)^2 - 2 * sin^2 альфа * cos^2 альфа] / cos^2 альфа = (1 - 2 * sin^2 альфа * cos^2 альфа) / cos^2 альфа = [(1/cos^2 альфа) * (1 - (2 * sin^2 альфа * cos^2 альфа))] / (1/cos^2 альфа) = tg^2 альфа + 1

Таким образом, мы доказали тождество.

б) Используя тождество cos^2 α + sin^2 α = 1 и замену sin^2 α на 1 - cos^2 α, получаем:

sin^2 α - cos^2 α + 1 = (1 - cos^2 α) - cos^2 α + 1 = 2 - 2 cos^2 α = 2 sin^2 α

Таким образом, мы доказали тождество.

в) Используя тождество cos^2 α + sin^2 α = 1, имеем:

(sin α + 1) (sin α - 1) = sin^2 α - 1 = -cos^2 α

Таким образом, мы доказали тождество.

г) Используя определения тригонометрических функций, имеем:

tg α + ctg α = (sin α / cos α) + (cos α / sin α) = (sin^2 α + cos^2 α) / (sin α * cos α) = 1 / (sin α * cos α) = 1 / sin α * 1 / cos α = 1 / (cos α * sin α)

Таким образом, мы доказали тождество.