Question

найдите все такие углы альфа для каждого из которых выполняется  равенство: а) sin альфа = (корень из 3)/2 б) cos альфа = - (корень из 2)/2 в) tg альфа = корень из 3 г) ctg альфа = -1 вычислите: а) tg^2 альфа + ctg^2 альфа, если tg альфа + ctg альфа = 3 б)(3*sin альфа - 4*cos альфа)/(5*sin альфа + 6*cos альфа), если tg альфа = -3 вычислите: arcsin (корень из 2)/2 - arcos0 + (arctg корень из 3)/ (arcctg (корень из 3)/ 3) ЗАРАНЕЕ СПАСИБО

Answer 1

Конечно, давайте начнем с поиска углов \(\alpha\), для которых выполняются данные уравнения:

а) \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Это уравнение соответствует углу \( \frac{\pi}{3} \) или \( 60^\circ \), так как \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

б) \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Это уравнение соответствует углу \( \frac{3\pi}{4} \) или \( 135^\circ \), так как \( \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

в) \( \tan \alpha = \sqrt{3} \)

Угол \( \alpha \), удовлетворяющий этому уравнению, равен \( \frac{\pi}{3} \) или \( 60^\circ \), так как \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

г) \( \cot \alpha = -1 \)

Это уравнение также соответствует углу \( \frac{\pi}{4} \) или \( 45^\circ \), так как \( \cot \frac{\pi}{4} = -1 \).

Теперь вычислим значения:

а) \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \), если \( \tan \alpha + \cot \alpha = 3 \)

Известно, что \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \). Подставим значение \( \tan \alpha + \cot \alpha = 3 \):

\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 - 2\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 3^2 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7 \).

б) \( \frac{3 \cdot \sin \alpha - 4 \cdot \cos \alpha}{5 \cdot \sin \alpha + 6 \cdot \cos \alpha} \), если \( \tan \alpha = -3 \)

Подставим значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \), которые мы нашли выше:

\( \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})} \)

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: \( 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{2} \)

Знаменатель: \( 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{2} \)

Итак, \( \frac{3\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{2 \cdot (5\sqrt{3} - 3\sqrt{2})} \).

в) \( \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arccos(0) + (\arctan(\sqrt{3}) - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})) \)

Вычислим по порядку:

\( \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} \)

\( \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \) (так как \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \))

\( \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)

\( \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} \) (так как \( \cot(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \))

Итак, подставим значения: \( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} \).