Question

4. Докажите, что значение выражения: 72³-44³ делится на 7

Answer 1

Разложим данное выражение на множители по формуле разности кубов:$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$72^3-44^3=(72-44)(72^2+72*44+44^2)=28*(72^2+72*44+44^2)$

Воспользуемся свойством:

"Если один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число".

У нас есть множитель 28, который делится нацело на число 7, значит, и все произведение делится на число 7.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $72^3 - 44^3$ делится на 7, мы можем воспользоваться тем, что разность кубов $a^3 - b^3$ разлагается на множители как $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае, $a = 72$ и $b = 44$, поэтому:

$$72^3 - 44^3 = (72 - 44)(72^2 + 72 \cdot 44 + 44^2)$$

Мы видим, что $72 - 44 = 28$. Теперь давайте рассмотрим второй множитель $72^2 + 72 \cdot 44 + 44^2$. Если мы разделим этот множитель на 7, то получим:

$$\frac{72^2 + 72 \cdot 44 + 44^2}{7} = \frac{7(72^2 + 72 \cdot 44 + 44^2)}{7} = 7\left(\frac{72^2}{7} + \frac{72 \cdot 44}{7} + \frac{44^2}{7}\right)$$

Теперь заметим, что каждый из трех слагаемых $\frac{72^2}{7}$, $\frac{72 \cdot 44}{7}$ и $\frac{44^2}{7}$ является целым числом. Таким образом, второй множитель также делится на 7.

Так как оба множителя делются на 7, исходное выражение $72^3 - 44^3$ также делится на 7. Таким образом, доказано, что $72^3 - 44^3$ делится на 7.