Question

5.134. Докажите, что выражение 4х-4х2-2 может принимать лишьотрицательные значения.​

Answer 1

$y = 4x - 4x^2 - 2 = -(2x)^2 + 2\cdot 2x - 1 - 1 =$

$= -( (2x)^2 - 2\cdot 2x + 1) - 1 = -(2x - 1)^2 - 1$

$(2x - 1)^2 \geq 0$

$-(2x - 1)^2 \leq 0$

$-(2x - 1)^2 - 1 \leq -1 < 0$

$y < 0$

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение 4x - 4x^2 - 2 и попробуем доказать, что оно принимает только отрицательные значения.

Для начала, давайте выразим это выражение в более наглядной форме:

4x - 4x^2 - 2 = -4x^2 + 4x - 2

Теперь давайте проведем анализ этой квадратичной функции. Как известно, квадратичная функция имеет параболическую форму и открывается вниз, если коэффициент при x^2 (в данном случае -4) отрицателен. То есть, у нас есть парабола, которая направлена вниз.

Теперь давайте рассмотрим вершину этой параболы. Вершина квадратичной функции с общим видом ax^2 + bx + c имеет x-координату, равную -b/2a. В нашем случае, a = -4, b = 4, и c = -2. Таким образом, x-координата вершины равна:

x = -b / (2a) = -4 / (2 * (-4)) = -4 / (-8) = 1/2

Теперь найдем значение функции в этой точке:

f(1/2) = -4(1/2)^2 + 4(1/2) - 2 = -4(1/4) + 2 - 2 = -1 + 2 - 2 = -1

Таким образом, значение функции в точке x = 1/2 равно -1.

Поскольку парабола открывается вниз и ее вершина находится выше любой другой точки на параболе, это означает, что значение функции при любом другом значении x будет меньше, чем -1. То есть, выражение -4x^2 + 4x - 2 принимает только отрицательные значения для всех значений x, кроме x = 1/2.

Таким образом, мы доказали, что выражение 4x - 4x^2 - 2 принимает лишь отрицательные значения, кроме случая x = 1/2, где оно равно -1.