Question

Решите уравнение 2синус^2 x/1-кос х=3

Answer 1

$\displaystyle \frac{2sin^2x}{1-cosx}=3\\\\ODZ: cosx\neq 1; x\neq 2\pi n; n \in Z\\\\2(1-cos^2x)=3(1-cosx)\\\\2-2cos^2x=3-3cosx\\\\2cos^2x-3cosx+1=0\\\\t=cosx; |t|\leq 1\\\\2t^2-3t+1=0\\\\D=9-8=1\\\\t_{1.2}=\frac{3 \pm 1}{4}\\\\ t_1=1; t_2=\frac{1}{2}$

но cosx≠1

тогда

$\displaystyle cosx=\frac{1}{2}\\\\x= \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n; n \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы будем использовать тригонометрические тождества. Уравнение имеет вид:

$\frac{2\sin^2 x}{1 - \cos x} = 3$

Давайте сначала выразим $\sin^2 x$ через $\cos x$ с использованием тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Теперь мы можем подставить это выражение в исходное уравнение:

$\frac{2(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos x} = 3$

Теперь давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на $1 - \cos x$:

$2(1 - \cos^2 x) = 3(1 - \cos x)$

Раскроем скобки:

$2 - 2\cos^2 x = 3 - 3\cos x$

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для переменной $\cos x$, где $a = 2$, $b = -3$ и $c = 1$:

$\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\cos x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

$\cos x = \frac{3 \pm 1}{4}$

Теперь найдем два возможных значения $\cos x$:

1. $\cos x = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
2. $\cos x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $\sin x$ для этих значений $\cos x$, используя тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

1. Для $\cos x = 1$, $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - 1^2} = 0$.
2. Для $\cos x = \frac{1}{2}$, $\sin x = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Итак, у нас есть два корня уравнения:

1. $x = \arccos(1) = 0^\circ + 360^\circ k$ (где 0 0