Question

Разложите многочлен на множители: x^2+n^2+2xn+2x+2n+1

Answer 1

Ответ:

Применяем два раза формулу квадрата суммы .

$x^2+n^2+2xn+2x+2n+1=\underbrace{(x^2+2xn+n^2)}_{(x+n)^2}+2(x+n)+1=\\\\=\underbrace{(x+n)^2+2(x+n)+1}_{a^2+2a+1=(a+1)^2\ ,\ a=x+n}=(x+n+1)^2=(x+n+1)\cdot (x+n+1)$  

Answer 2

Для разложения данного многочлена на множители мы можем воспользоваться методом группировки. Давайте разделим многочлен на две группы и вынесем общие множители из каждой группы:

x^2 + n^2 + 2xn + 2x + 2n + 1

= (x^2 + 2xn + x) + (n^2 + 2n + 1)

= x(x + 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1)

Теперь мы видим, что у нас есть две группы: первая с множителем x, вторая с множителем 1. Давайте разложим их по отдельности:

1. Разложение первой группы: x(x + 2n + 1) = x(x + 1 + 2n)

Теперь мы можем применить формулу квадрата суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, где a = x и b = 1 + 2n:

x(x + 1 + 2n) = x^2 + x(1 + 2n) + (1 + 2n)^2

2. Разложение второй группы: n^2 + 2n + 1

Теперь у нас есть две раскрываемых группы, и мы можем записать полное разложение:

x^2 + n^2 + 2xn + 2x + 2n + 1 = (x^2 + x(1 + 2n) + (1 + 2n)^2) + (n^2 + 2n + 1)

Теперь мы можем разложить каждую из этих групп:

1. Разложение первой группы: x^2 + x(1 + 2n) + (1 + 2n)^2 = x^2 + x(1 + 2n) + (1^2 + 212n + (2n)^2)

Теперь у нас есть трехчлен вида a^2 + 2ab + b^2, который можно разложить как (a + b)^2:

x^2 + x(1 + 2n) + (1^2 + 212n + (2n)^2) = (x + 1 + 2n)^2

2. Разложение второй группы: n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2

Итак, полное разложение многочлена:

x^2 + n^2 + 2xn + 2x + 2n + 1 = (x + 1 + 2n)^2 + (n + 1)^2

Многочлен разложен на множители:

(x + 1 + 2n)^2 + (n + 1)^2