Question

Определите промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума f(х)=х2+7х+2

Answer 1

$f(x) = x^2 + 7x + 2$

Находим производную.

$f'(x) = \left(x^2\right)' + (7x)' + 2' = 2x + 7 + 0 = \bf{2x + 7}$

Приравниваем производную к нулю.

$f'(x) = 0\\\\2x + 7 = 0\\\\2x = -7\ \ \ \ \ \Big| :2\\\\\bf{x = -3,5}$

Теперь найдём знак производной на каждом промежутке.

               -                                +               $f'(x)$

-----------------------------$\bullet$-------------------------> x

               $\searrow$          $-3,5$           $\nearrow$              $f(x)$

Функция возрастает там, где производная положительна, и убывает, где она отрицательна.

Ответ: функция убывает при $x\in\left(-\infty;\ -3,5]$ ; возрастает при $x\in[-3,5;+\infty)$.

Одна точка экстремума: $-3,5$.

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = x^2 + 7x + 2, а также точек экстремума, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x) по x.

2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.

3. Исследуйте знак производной в интервалах между критическими точками, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

4. Определите точки экстремума, если производная меняет знак через критическую точку.

5. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x + 7.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

2x + 7 = 0. 2x = -7. x = -7/2.

Критическая точка x = -7/2.

3. Теперь исследуем знак производной в интервалах:

3.1. x < -7/2: Выберем x = -3 (произвольная точка меньше -7/2): f'(-3) = 2(-3) + 7 = 1. Таким образом, в интервале x < -7/2 производная положительна, что означает, что функция возрастает в этом интервале.

3.2. -7/2 < x: Выберем x = 0 (произвольная точка больше -7/2): f'(0) = 2(0) + 7 = 7. В интервале -7/2 < x производная положительна, и функция продолжает возрастать.

Таким образом, функция f(x) = x^2 + 7x + 2 возрастает на всей числовой прямой.

4. Точек экстремума нет, так как функция f(x) не меняет направление своего возрастания (производная всегда положительна).