Question

Найти наибольшее значение выражения cos²a·tg²a+5cos²a-1

Answer 1

$Cos^{2}\alpha*tg^{2}\alpha +5Cos^{2}\alpha-1=Cos^{2}\alpha*\frac{Sin^{2}\alpha }{Cos^{2}\alpha}+5Cos^{2}\alpha-1= \\\\=Sin^{2}\alpha+5Cos^{2}\alpha-1=5Cos^{2}\alpha-(1-Sin^{2}\alpha)=5Cos^{2}\alpha-Cos^{2}\alpha=\boxed{4Cos^{2}\alpha} \\\\-1\leq Cos\alpha \leq1 \ \Rightarrow \ 4*1 =\boxed4$

Наибольшее значение равно 4 .

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения cos²a·tg²a+5cos²a-1, мы можем воспользоваться методом дифференциации (поиска экстремумов). Давайте найдем производную этой функции по переменной "a" и приравняем ее к нулю:

f(a) = cos²a·tg²a + 5cos²a - 1

f'(a) = 2cos(a)·tg(a)·(-sin²a) + 10cos(a)·(-sin(a)) = -2cos(a)·sin(a)·(sin(a) + 5tg(a))

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-2cos(a)·sin(a)·(sin(a) + 5tg(a)) = 0

Это уравнение имеет два возможных случая:

1. -2cos(a)·sin(a) = 0
2. sin(a) + 5tg(a) = 0

Первый случай (-2cos(a)·sin(a) = 0) соответствует двум случаям: a) cos(a) = 0 b) sin(a) = 0

Второй случай (sin(a) + 5tg(a) = 0) не имеет явных аналитических решений.

Посмотрим на каждый из этих случаев:

a) cos(a) = 0: Если cos(a) = 0, то tg(a) может быть любым значением, и выражение cos²a·tg²a + 5cos²a - 1 неограничено возрастает (при tg(a) ≠ 0).

b) sin(a) = 0: Если sin(a) = 0, то tg(a) = 0, и выражение равно -1.

Таким образом, наибольшее значение данного выражения равно -1 и достигается, когда sin(a) = 0 (a - кратное π) или когда cos(a) = 0 и tg(a) ≠ 0.