Question

Рациональное неравенство. Урок 4 Реши неравенство: ( x² +4x - 5) (x-3)²/2x²+5x-7≥ 0.Ответ: x ∈ (–∞; _ ] ∪ ( _; _ ) ∪ ( _ ; +∞).​

Answer 1

Во..........................

Answer 2

Давайте рассмотрим данное рациональное неравенство:

$\frac{(x^2 + 4x - 5)(x - 3)^2}{2x^2 + 5x - 7} \geq 0$.

Для решения таких неравенств мы должны определить знак выражения в числителе и знаменателе исходной дроби в каждом интервале числовой прямой, где знаменатель не равен нулю.

1. Сначала определим интервалы, в которых знаменатель $2x^2 + 5x - 7$ не равен нулю. Решим уравнение:

$2x^2 + 5x - 7 = 0$.

Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти корни:

$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4}$.

$x = \frac{-5 \pm 9}{4}$.

Это дает два корня: $x_1 = 7/2$ и $x_2 = -2$. Теперь мы знаем, что знаменатель равен нулю в точках $x = 7/2$ и $x = -2$. Следовательно, числовая прямая разбивается на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 7/2)$ и $(7/2, +\infty)$.

2. Теперь определим знак числителя $(x^2 + 4x - 5)(x - 3)^2$ на каждом из этих интервалов:

• Для интервала $(-\infty, -2)$: Подставим $x = -3$ (значение между -2 и -7/2) в числитель: $((-3)^2 + 4(-3) - 5)(-3 - 3)^2 = (9 - 12 - 5)(-6)^2 = (-8)(36) < 0$.

• Для интервала $(-2, 7/2)$: Подставим $x = 0$ (значение между -2 и 7/2) в числитель: $(0^2 + 4(0) - 5)(0 - 3)^2 = (-5)(9) < 0$.

• Для интервала $(7/2, +\infty)$: Подставим $x = 4$ (значение больше чем 7/2) в числитель: $(4^2 + 4(4) - 5)(4 - 3)^2 = (16 + 16 - 5)(1)^2 = (27)(1) > 0$.

3. Теперь объединим информацию о знаках числителя и нулях знаменателя на каждом интервале, чтобы определить знак исходной дроби:

• На интервале $(-\infty, -2)$, числитель отрицателен, знаменатель отрицателен (так как между -2 и 7/2), поэтому дробь положительная: $< 0$.

• На интервале $(-2, 7/2)$, числитель отрицателен, знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательная: $< 0$.

• На интервале $(7/2, +\infty)$, числитель положителен, знаменатель положителен, поэтому дробь положительная: $> 0$.

Теперь мы можем собрать все эти результаты вместе:

• Дробь положительная на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(7/2, +\infty)$.
• Дробь отрицательная на интервале $(-2, 7/2)$.

Теперь у нас есть все необходимые знаки для решения неравенства. Для того чтобы неравенство было истинным, дробь должна быть больше или равна нулю:

• На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(7/2, +\infty)$, дробь положительная, поэтому неравенство выполняется.
• На интервале $(-2, 7/2)$, дробь отрицательная, поэтому неравенство не выполняется.

Итак, решение данного неравенства - это объединение интервалов, на которых дробь положительная:

$x \in (-\infty, -2) \cup (7/2, +\infty)$.