Question

Матем. Индукция) довести: 1+7+13+...+6n-5=n(3n-2)

Answer 1

1+7+13+...+6n-5=n(3n-2)

1. проверим для n = 1

1 = 1(3 - 2) = 1

2. пусть верно ждя n = k

3. докажем для n = k + 1

1 + 7 +....+ 6k - 5 + 6(k + 1) - 5 = (k +1)(3(k+1) - 2) = (k + 1)(3k + 1)

k(3k - 2) + 6(k + 1) - 5 = 3k² - 2k + 6k + 6 - 1 = 3k² + 3k + k + 1 = 3k(k + 1) + (k + 1) = (3k + 1)(k + 1) чтд

Answer 2

Математическая индукция - это метод математического доказательства, который позволяет установить истинность утверждения для всех натуральных чисел. Чтобы доказать формулу 1 + 7 + 13 + ... + (6n-5) = n(3n-2) с использованием математической индукции, нужно выполнить два шага:

1. Базовый шаг (Base Case): Показать, что утверждение верно для n = 1.
2. Шаг индукции (Inductive Step): Предположить, что утверждение верно для некоторого произвольного положительного целого числа k и доказать, что оно также верно для k + 1.

Давайте начнем с базового шага:

1. При n = 1: Левая часть: 1 = 1(31 - 2) = 1(3 - 2) = 1(1) = 1 Правая часть: n(3n - 2) = 1(31 - 2) = 1(3 - 2) = 1(1) = 1

Утверждение верно для n = 1.

Теперь перейдем ко второму шагу, шагу индукции:

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, то есть: 1 + 7 + 13 + ... + (6k-5) = k(3k - 2)

Нам нужно доказать, что утверждение также верно для k + 1. Для этого добавим следующее слагаемое (6(k+1)-5) к обеим сторонам:

1 + 7 + 13 + ... + (6k-5) + (6(k+1)-5) = k(3k - 2) + (6(k+1)-5)

Теперь давайте упростим каждую сторону уравнения:

Левая сторона: 1 + 7 + 13 + ... + (6k-5) + (6(k+1)-5) = (1 + 7 + 13 + ... + (6k-5)) + (6(k+1)-5)

Из предположения индукции, мы знаем, что (1 + 7 + 13 + ... + (6k-5)) равно k(3k - 2), поэтому:

Левая сторона = k(3k - 2) + (6(k+1)-5)

Правая сторона: Правая сторона = k(3k - 2) + (6k + 6 - 5) = k(3k - 2) + 6k + 1

Теперь сравним левую и правую стороны:

Левая сторона = k(3k - 2) + 6(k+1) - 5 Левая сторона = k(3k - 2) + 6k + 6 - 5 Левая сторона = k(3k - 2) + 6k + 1

Таким образом, мы видим, что левая сторона равна правой стороне, и мы успешно доказали шаг индукции.

Итак, утверждение верно для всех натуральных чисел по методу математической индукции.