Question

2. Неравенство (х-a)(2x-1)(x+b)>0 имеет решение (-4; 1/2) U (5;∞). найдите значение a и b​

Answer 1

Ответ:

$(\star )\ \ \ \ (x-a)(2x-1)(x+b)>0\ \ ,\ \ \ x_1=a\ ,\ x_2=\frac{1}{2}\ ,\ x_3=-b\\\\x\in (-4\ ;\ \frac{1}{2} \ )\cup (\ 5\ ;+\infty \, )\ \ \Rightarrow \\\\znaki:\ \ ---(-4)+++(\frac{1}{2})---(5)+++$

Тогда неравенство должно иметь вид :   $(x+4)(2x-1)(x-5)>0\ \ \ (\star \star )$

Сравним неравенства  $(\star )$  и   $(\star \star )$ . Получим два случая.

$a)\ \ x-a=x+4\ \ ,\ \ -a=4\ \ ,\ \ a=-4\\\\{}\ \ \ \ x+b=x-5\ \ ,\ \ b=-5\\\\b)\ \ x-a=x-5\ \ ,\ \ -a=-5\ \ ,\ \ a=5\\\\{}\ \ \ \ x+b=x+4\ \ ,\ \ b=4$

Ответ:   $\boxed{\ a=-4\ \ ,\ \ b=-5\ }$   или   $\boxed{\ a=5\ \ ,\ \ b=4\ }$  

Answer 2

Для неравенства $(x - a)(2x - 1)(x + b) > 0$ с решением $(-4; \frac{1}{2}) \cup (5; \infty)$, мы можем воспользоваться методом интервалов знаков.

1. Интервалы знаков:

   Рассмотрим три множителя: $x - a$, $2x - 1$, и $x + b$. Определите интервалы, на которых каждый из них положителен или отрицателен, основываясь на решении неравенства.

   • $x - a > 0$ на интервале $(-4; \frac{1}{2}) \cup (5; \infty)$.
   • $2x - 1 > 0$ всегда положительное, так как это уравнение представляет собой прямую с наклоном вверх и пересечение с осью x равно $\frac{1}{2}$.
   • $x + b > 0$ на интервале $(-4; \frac{1}{2}) \cup (5; \infty)$.

2. Положительность неравенства:

   Неравенство $(x - a)(2x - 1)(x + b) > 0$ будет положительным только в том случае, если количество отрицательных множителей среди них - четное число.

   Рассмотрим возможные комбинации знаков:

   • Все множители положительны: Это соответствует интервалу $(-4; \frac{1}{2}) \cup (5; \infty)$.
   • Два множителя отрицательны: Это не соответствует решению неравенства, так как наши интервалы для каждого множителя положительны.

3. Определение значений a и b:

   Из условий можно сделать следующие выводы:

   • $a < -4$ (так как $x - a$ должен быть положителен для $x \in (-4; \frac{1}{2})$).
   • $b > -\frac{1}{2}$ (так как $x + b$ должен быть положителен для $x \in (-4; \frac{1}{2})$).
   • $b < 5$ (так как $x + b$ должен быть положителен для $x \in (5; \infty)$).

Таким образом, нам необходимы значения $a < -4$ и $-\frac{1}{2} < b < 5$, чтобы удовлетворить условиям задачи.