Question

Найти общее решение дифференциального уравнения xy' =5y+6

Answer 1

Ответ:

$xy'=5y+6\\\\\\x\cdot \dfrac{dy}{dx} =5y+6\ \ \ \to \ \ \ \int \dfrac{dy}{5y+6}=\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\\dfrac{1}{5}\cdot ln|5y+6|=ln|x|+lnC\ \ \ \to \ \ \ \boxed{\ \sqrt[5]{|5y+6|}=Cx\ }$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения xy' = 5y + 6, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Давайте начнем с разделения переменных, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а члены, содержащие x, на другую сторону:

xy' - 5y = 6.

Теперь давайте выразим y' (производную y) и разделим обе стороны на y - 5:

y' = (6 + 5y) / x.

Теперь это уравнение можно разделить на (6 + 5y) и умножить на dx, чтобы выразить y и x в отдельных частях:

dy / (6 + 5y) = dx / x.

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл левой стороны будет иметь вид:

∫(1 / (6 + 5y)) dy,

а интеграл правой стороны:

∫(1 / x) dx.

Интегрируя обе стороны, мы получим:

ln|6 + 5y| = ln|x| + C,

где C - произвольная постоянная интеграции. Теперь давайте избавимся от натуральных логарифмов, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

6 + 5y = e^(ln|x| + C).

Мы можем записать e^(ln|x| + C) как произведение e^(ln|x|) и e^C, и e^(ln|x|) равно просто |x|:

6 + 5y = |x| * e^C.

e^C - это также произвольная константа, так что мы можем обозначить ее как K:

6 + 5y = K * |x|.

Теперь мы можем разделить на 5 и переписать уравнение:

y = (K * |x| - 6) / 5.

Это общее решение дифференциального уравнения xy' = 5y + 6.