Question

Товарищи со статусом "главный мозг" подскажите другой способ решения!! Есть задача: Решите неравенство |x-4|-|x-8|>a относительно переменной x. Обычный способ решения здесь не подходит. А именно: 1) x-4>=0, x-8>=0 x-4-x+8>a 4>a, при x Э [8; +бесконеч) 2) x-4<0, x-8>=0 -x+4-x+8>a x<-(a-12)/2, при x<4,x>=8 следовательно нет решений 3) x-4>=0, x-8<0 x-4+x-8>a x>(a+12)/2, при x Э [4;8) 4) x-4<0, x-8<0 -x+4+x-8>a -4>a, при x Э (-бесконеч; 4) Все вот эти вот вычисления имею лишь немного общего с ответом из книги. Ответ: Если а<-4, то x Э R, если а=-4, то x Э (4; +бесконечн), если а>=4, то нет решений, если -4<а<4, то x Э ((a+12)/2; +бесконеч). Кто может подсказать что надо скорректировать в решении? Или вообще применить другой способ решения, типа есть три варианта а<0, a=0, a>0. Но опять же никак в толк не возьму как это применить? Даю 30 баллов!

Answer 1

Удобно решать графически

Answer 2

Для решения этой задачи, начнем с обозначения:

Пусть $y = x - 4$, тогда $|x - 4| = |y|$.

Пусть также $z = x - 8$, тогда $|x - 8| = |z|$.

Теперь наше неравенство примет вид $|y| - |z| > a$.

Мы знаем, что $|y| = y$ при $y \geq 0$ и $|y| = -y$ при $y < 0$. Аналогично, $|z| = z$ при $z \geq 0$ и $|z| = -z$ при $z < 0$.

Теперь мы можем переписать наше неравенство в различных случаях:

1. $y \geq 0$, $z \geq 0$: $y - z > a$.
2. $y < 0$, $z \geq 0$: $-y - z > a$.
3. $y \geq 0$, $z < 0$: $y + z > a$.
4. $y < 0$, $z < 0$: $-y + z > a$.

Теперь разберем каждый из случаев:

1. $y \geq 0$, $z \geq 0$: $y - z > a$ перепишем в терминах $x$: $(x - 4) - (x - 8) > a$. Это дает $4 > a$, что соответствует вашему первому результату.
2. $y < 0$, $z \geq 0$: $-y - z > a$ перепишем в терминах $x$: $-(x - 4) - (x - 8) > a$. Это даст вам некоторые дополнительные решения.
3. $y \geq 0$, $z < 0$: $y + z > a$ перепишем в терминах $x$: $(x - 4) + (x - 8) > a$. Это также даст вам некоторые дополнительные решения.
4. $y < 0$, $z < 0$: $-y + z > a$ перепишем в терминах $x$: $-(x - 4) + (x - 8) > a$. Это даст вам еще некоторые дополнительные решения.

Суммируя результаты из всех четырех случаев, вы получите полное решение вашего неравенства. Проверьте внимательно каждый шаг и убедитесь, что правильно выполняете алгебраические преобразования.