Question

В основании пирамиды MABCD лежит квадрат АВСD. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, и МВ=АВ. На ребре МС взята точка Р – середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая DР с прямой MA.

Answer 1

Пусть B - Начало координат.

Ось X - BA

Ось Y - BC

Ось  Z - BM

Пусть MB=AB=k

координаты точек

D(k;k;0)

P(0;k/2;k/2)

M(0;0;k)

A(k;0;0)

Вектора

DP( -k;-k/2;k/2)

MA(k;0;-k)

Косинус искомого угла

| DP*MA | / | DP| / | MA | = | -k^2-k^2/2 | / | √(k^2+k^2/4 + k^2/4) | / | √(k^2+k^2) = (3/2) /(√3/√2) /√2  = √3 /2

Искомый угол 30 градусов

Answer 2

Для нахождения угла между прямой DР и прямой MA в пирамиде MABCD, мы можем воспользоваться геометрией данной конструкции.

Сначала рассмотрим квадрат ABCD, который лежит в основании пирамиды. Поскольку MBCD - это пирамида, а MВ перпендикулярно плоскости основания, то ребро MB является высотой этой пирамиды. Мы также знаем, что MB = AB.

Теперь рассмотрим треугольник MRP, где P - середина ребра MC, а M - вершина пирамиды. Поскольку P - середина ребра MC, то MP = PC. Также, так как MB = AB, то треугольник AMP является равнобедренным, так как AM = MB.

Следовательно, угол AMP равен углу MPA.

Теперь мы можем рассмотреть угол DРА, который исходит из вершины D. У нас есть равные углы:

1. Угол DAB, так как ABCD - это квадрат.
2. Угол AMP, так как треугольник AMP равнобедренный.

Следовательно, угол DРА равен углу DAB + углу AMP. Поскольку угол DAB в квадрате ABCD равен 90 градусов, и угол AMP равен углу MPA, который тоже равен 90 градусам (так как треугольник AMP равнобедренный), то угол DРА равен 90 + 90 = 180 градусов.

Итак, угол между прямой DР и прямой MA равен 180 градусов.