Question

Решите уравнение: x^3-[x]=3

Answer 1

Ответ:

х=³√4

Объяснение:

[x] - целая часть числа х,

{х} - дробная часть числа х,

х = [х] + {х}, при этом 0 ≤ {х} < 1 →

[х] = х - {х}

x³-[x]=3 →

х³-(х-{х})=3

х³-х+{х}=3

{х}= 3+х-х³ →

0 ≤ 3+х-х³ < 1 | -3

-3 ≤ х-х³ < -2 | *(-1)

2 < х³-х ≤ 3

Пусть f(x)=x³-x

f'(x)=(x³-x)'=3x²-1

f'(x)=0 при 3х²-1=0

3х²=1, х²=1/3, х= ±1/(√3)

f'(x). +. -. +

----------о------------о---------->

f(x) ↑ -1/√3 ↓ 1/√3. ↑ х

• Исследуем функцию на промежутке от (-∞;1/√3):

f(max) = f(-1/√3) = x³-x = x(x²-1) = -1/√3 * ((-1/√3)² -1) = -1/√3 * (1/3 - 1) = -1/√3 * (-2/3) = 2/3√3 < 2 →

на промежутке от (-∞; 1/√3) функция f(x)=x³-x не имеет значений, подходящих неравенству 2 < f(x) ≤ 3

• Исследуем функцию на промежутке от [1/√3; +∞):

рассмотрим ближайшее целое значение в ближайшей точке = 1:

f(1) = 1³-1 = 0

в точке 2: f(2)=2³-2=8-2=6 →

в промежутке от 1 до 2 функция изменяется от 0 до 6 и содержится нужный промежуток (когда функция изменяется от 2 до 3) →

1 < х < 2 → [х] = 1

Подствляем в исходное уравнение:

х³-1=3

х³=4

х=³√4

Answer 2

Это уравнение представляет собой кубическое уравнение с поправкой на целую часть x. Давайте попробуем решить его:

$x^3 - \lfloor x \rfloor = 3$

где $\lfloor x \rfloor$ - это наибольшее целое число, не превосходящее x.

Рассмотрим различные случаи:

1. Когда $x$ - целое число:

Если $x$ - целое число, то $\lfloor x \rfloor = x$. Подставляем это в уравнение:

$x^3 - x = 3$

Попробуем целые значения x:

• Для $x = 1$: $1^3 - 1 = 0$, не подходит.
• Для $x = 2$: $2^3 - 2 = 6 - 2 = 4$, не подходит.
• Для $x = 3$: $3^3 - 3 = 24 - 3 = 21$, не подходит.
• Для $x = 4$: $4^3 - 4 = 60 - 4 = 56$, не подходит.

2. Когда $x$ - нецелое число:

Если $x$ - нецелое число, то $\lfloor x \rfloor$ - это наибольшее целое число, меньшее, чем $x$. Таким образом, можно представить $x$ в виде $x = n + \epsilon$, где $n$ - целая часть x, а $\epsilon$ - дробная часть x ($0 \leq \epsilon < 1$). Подставим это в уравнение:

$(n + \epsilon)^3 - n = 3$

Разложим $(n + \epsilon)^3$:

$n^3 + 3n^2\epsilon + 3n\epsilon^2 + \epsilon^3 - n = 3$

Уравнение можно упростить, учитывая, что $\epsilon < 1$:

$n^3 + 3n^2\epsilon + 3n\epsilon^2 + \epsilon^3 - n = 3$

Так как $n$ - целое число, первый и последний члены являются целыми. Это означает, что $3n^2\epsilon + 3n\epsilon^2$ также должны быть целыми. Но при этом они меньше 3. Учитывая, что левая часть равенства должна быть равна 3, мы можем заключить, что оба члена $3n^2\epsilon$ и $3n\epsilon^2$ должны быть равны нулю.

Это возможно, если $\epsilon = 0$, что означает, что $x$ - целое число. Однако мы уже исключили этот случай, так как не нашли подходящего значения для $x$ среди целых чисел.

Таким образом, данное уравнение не имеет решений среди вещественных чисел.