Question

Для функции f(x) = x²+2x найдите первообразную, график которой проходит через точку (3; -7).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\int\limits^._. {(x^{2}+2x) } \, dx =\frac{x^{3} }{3} +x^{2} +C$

x=3 y=-7

$-7=\frac{3^{3} }{3} +3^{2} +C;\\-7=9+9+C;\\C=-25$

$\frac{x^{3} }{3} +x^{2} -25$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = x^2 + 2x\), давайте используем стандартные правила интегрирования. Затем мы определим константу интегрирования, используя условие прохождения графика через точку \((3, -7)\).

Начнем с нахождения первообразной \(F(x)\) для функции \(f(x) = x^2 + 2x\):

\[F(x) = \int (x^2 + 2x) \,dx\]

Интегрируем каждый член по отдельности:

\[F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C\]

Где \(C\) - константа интегрирования.

Теперь, чтобы определить значение константы \(C\), воспользуемся условием, что график проходит через точку \((3, -7)\). Подставим \(x = 3\) и \(F(x) = -7\) в уравнение:

\[-7 = \frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + C\]

\[-7 = 9 + 9 + C\]

\[-7 = 18 + C\]

\[C = -25\]

Таким образом, окончательная первообразная функции \(f(x) = x^2 + 2x\), проходящая через точку \((3, -7)\), будет:

\[F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 25\]

Это и есть ответ на ваш вопрос.