Question

Визначте останню цифру числа 43^43 -17^17

Answer 1

Ответ:

1)43⁴³

Нам надо найти последнюю цифру для этого надо найти последнюю цифру числа 3⁴³

3¹=3

3²=9

3³=27

3⁴=81

3⁵=243

Значит период равен 4

Делем 43 на 4 и берём остаток это 3

Значит последнюю цифра числа 3⁴³=.....7

2)17¹⁷

Для этого тоже точно также

7¹=7

7²=49

7³=343

7⁴=2401

7⁵=16 807

Период равен 4

17 делем на 4 и берём остаток это 1

7¹⁷=......7

43⁴³-17¹⁷=....7-.....7=.....0

Ответ:0

Answer 2

Степень $43^{43}$ заканчивается на цифру, которая зависит от последней цифры основания степени (3) и от показателя степени (43).

По таблице степеней тройки смотрим как меняется последняя цифра:

n    3^n

1     3    <-начало периода (цифра 3)

2    9

3    27

4    81    <-конец периода (цифра 1)

5    243    <-пошло повторение периода (цифра 3)

Период повторения последней цифры в степенях равен четырём.

Делим (с остатком) показатель степени на период:

43 / 4 = 10 (и 3 в остатке)

По остатку определяем последнюю цифру степени: остаток=3, по таблице смотрим смотрим, что третья степень в нашем периоде заканчивается на цифру 7.

Значит, и  $3^{43}$  и  $43^{43}$ тоже заканчиваются на 7.

Степень $17^{17}$ заканчивается на цифру, которая зависит от последней цифры основания степени (7) и от показателя степени (17).

По таблице степеней семёрки видим как меняется последняя цифра:

n    7^n

1     7    <-начало периода (цифра 7)

2    49

3    343

4    2401    <-конец периода (цифра 1)

5    16807    <-пошло повторение периода (цифра 7)

Период повторения последней цифры в степенях равен четырём.

Делим (с остатком) показатель степени на период:

17 / 4 = 6 (и 1 в остатке)

По остатку определяем последнюю цифру степени: остаток=1, по таблице смотрим смотрим, что первая степень в нашем периоде заканчивается на цифру 7.

Значит, и  $7^{17}$  и  $17^{17}$ тоже заканчиваются на 7.

А если был бы остаток=0, то смотреть нужно было бы конец периода- т.е. была бы цифра один.

Разность этих двух степеней будет выглядеть так:

$43^{43}-17^{17}=.....7\ -\ .....7=.....0$

Последняя цифра - ноль.

Ну, а полностью эта разность выглядит так:

$43^{43}-17^{17}=$  17343773367030267519903781288812032158308062539011

264712815880862231330 (число разрядов= 71)

Answer 3

Для розрахунку останньої цифри числа 43^43 - 17^17, ми можемо використати ознаку Конгруенції. Ознака Конгруенції говорить про те, що якщо два числа дають однаковий залишок при діленні на певне число, то їх різниця також дасть той самий залишок при діленні на це число.

Для знаходження останньої цифри числа, нам потрібно знайти його залишок при діленні на 10. Тобто, ми шукаємо останню цифру числа.

Ми можемо розглянути окремо числа 43^43 та 17^17 і знайти їх залишки при діленні на 10. Далі, ми віднімемо залишок 17^17 від залишку 43^43 та знайдемо залишок цієї різниці при діленні на 10. Цей залишок буде останньою цифрою числа 43^43 - 17^17.

Отже, почнемо з обчислення залишку 43^43 при діленні на 10. Для цього варто придивитися до останніх цифр степеня 43:

43^1 = 43 43^2 = 1849 43^3 = 79507 43^4 = 3418801 43^5 = 147008443 і так далі.

Ми бачимо, що остання цифра числа 43^k залежить від останньої цифри числа 43^(k-1). Це означає, що остання цифра числа 43^43 залежатиме від останньої цифри числа 43^42.

Остання цифра числа 43^1 дорівнює 3. Остання цифра числа 43^2 дорівнює 9. Остання цифра числа 43^3 дорівнює 7. Остання цифра числа 43^4 дорівнює 1. Остання цифра числа 43^5 дорівнює 3.

Ми бачимо, що остання цифра числа 43^k повторюється з періодом 4. Це означає, що остання цифра числа 43^43 буде така ж, як остання цифра числа 43^3, тобто 7.

Аналогічно, ми можемо знайти останню цифру числа 17^17. Зауважимо, що остання цифра числа 17^1 дорівнює 7, а остання цифра числа 17^2 дорівнює 9. Остання цифра числа 17^k повторюється з періодом 4, тому остання цифра числа 17^17 буде така ж, як остання цифра числа 17^1, тобто 7.

Тепер, залишок числа 43^43 - 17^17 при діленні на 10 буде дорівнювати залишку 7 - 7 при діленні на 10, тобто 0.

Отже, остання цифра числа 43^43 - 17^17 дорівнює 0.