Question

Маша задумала 10-значное число и сообщила Васе, что остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Потом Маша зачеркнула одну цифру и сказала Васе, что остаток от деления на 9 получившегося 9-значного числа равен 7. Помогите Васе угадать цифру, которую зачеркнула Маша. Запишите эту цифру в ответ.

Answer 1

$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=9x+3$
$a+b+c+d+e+f+g+h+i=9y+7$
⇒ $j=9(x-y)+3-7=9(x-y)-4$
$4$  ≤  $j$  ≤  $9$
⇒ $x>y$
$x-y=4$
⇒ $j=5$
Ответ: 5

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче. Пусть исходное 10-значное число, задуманное Машей, будет представлено последовательностью цифр abcdefghij, где каждая буква обозначает одну цифру.

Мы знаем, что остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Это означает, что сумма всех цифр этого числа также должна быть кратна 9 и иметь остаток 3 при делении на 9. То есть:

a + b + c + d + e + f + g + h + i + j ≡ 3 (mod 9)

Затем Маша зачеркнула одну цифру и получила 9-значное число, остаток от деления которого на 9 равен 7. Предположим, что зачеркнутая цифра была k. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

(a + b + c + d + e + f + g + h + i) + j ≡ 7 (mod 9)

Заметим, что первое уравнение может быть переписано в следующем виде:

(a + b + c + d + e + f + g + h + i + j) - j ≡ 3 (mod 9)

(a + b + c + d + e + f + g + h + i + j) ≡ (j + 3) (mod 9)

Мы знаем, что a + b + c + d + e + f + g + h + i + j - j ≡ 3 (mod 9), поэтому:

(j + 3) ≡ 3 (mod 9)

j ≡ 0 (mod 9)

То есть j должно быть кратно 9.

Поскольку j является последней цифрой в исходном числе, если j = 9, то зачеркнутой цифрой будет 9.