Question

Покажите что числовая последовательность образует геометрическую прогрессию если общий член ее выражается формулой: a) an=⅔ * 2n b) an = ³/2n c)an= (-⅓)n

Answer 1

Чтобы показать, что числовая последовательность образует геометрическую прогрессию, нужно убедиться, что отношение любых двух последовательных членов этой последовательности является постоянным числом.

a) Последовательность a_n = (2/3) * 2^n

Давайте вычислим отношение двух последовательных членов: a_(n+1)/a_n = [(2/3) * 2^(n+1)] / [(2/3) * 2^n]

Здесь (2/3) сокращается, и у нас остается: a_(n+1)/a_n = 2^(n+1) / 2^n

Теперь мы видим, что отношение a_(n+1)/a_n равно 2. Это постоянное число. Поэтому данная последовательность a_n образует геометрическую прогрессию с знаменателем 2.

b) Последовательность a_n = (3/2)^n

Давайте вычислим отношение двух последовательных членов: a_(n+1)/a_n = [(3/2)^(n+1)] / [(3/2)^n]

Здесь (3/2) в числителе и знаменателе сокращается, и у нас остается: a_(n+1)/a_n = 3/2

Таким образом, отношение a_(n+1)/a_n равно постоянному числу 3/2. Поэтому данная последовательность a_n также образует геометрическую прогрессию.

c) Последовательность a_n = (-1/3)^n

Давайте вычислим отношение двух последовательных членов: a_(n+1)/a_n = [(-1/3)^(n+1)] / [(-1/3)^n]

Здесь (-1/3) в числителе и знаменателе сокращается, и у нас остается: a_(n+1)/a_n = -1/3

Отношение a_(n+1)/a_n равно постоянному числу -1/3. Поэтому данная последовательность a_n также образует геометрическую прогрессию.

Итак, все три даннные последовательности a_n образуют геометрические прогрессии.