Question

Действительное число b таково, что b−2/b=5. Чему равно b^4+16/b^4?

Answer 1

$b-\dfrac{2}{b}=5$

Возведем обе части равенства в квадрат:

$\left(b-\dfrac{2}{b}\right)^2=5^2$

$b^2-2\cdot b\cdot \dfrac{2}{b}+\left( \dfrac{2}{b}\right)^2=25$

$b^2-4+ \dfrac{4}{b^2}=25$

$b^2+ \dfrac{4}{b^2}=29$

И еще раз возведем обе части равенства в квадрат:

$\left(b^2+ \dfrac{4}{b^2}\right)^2=29^2$

$(b^2)^2+2\cdot b^2\cdot \dfrac{4}{b^2}+\left(\dfrac{4}{b^2}\right)^2=841$

$b^4+8+\dfrac{16}{b^4}=841$

$b^4+\dfrac{16}{b^4}=833$

Ответ: 833

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу.

Дано: действительное число b таково, что b−2/b=5.

Найти: b^4+16/b^4.

Решение:

1. Преобразуем уравнение b−2/b=5 к виду b^2−5b−2=0. 2. Решаем квадратное уравнение b^2−5b−2=0 с помощью формулы $$b = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$$. 3. Получаем два корня: b1= (5+√29)/2 и b2= (5−√29)/2. 4. Подставляем каждый корень в выражение b^4+16/b^4 и упрощаем. 5. Для b1= (5+√29)/2 получаем:

$$\begin{aligned} b_1^4 + \frac{16}{b_1^4} &= \left(\frac{5 + \sqrt{29}}{2}\right)^4 + \frac{16}{\left(\frac{5 + \sqrt{29}}{2}\right)^4} \\ &= \frac{(5 + \sqrt{29})^4 + 256}{16} \\ &= \frac{625 + 580\sqrt{29} + 841 + 4640 + 2320\sqrt{29} + 256}{16} \\ &= \frac{6672 + 2940\sqrt{29}}{16} \\ &= 417 + \frac{735\sqrt{29}}{4} \end{aligned}$$

6. Для b2= (5−√29)/2 получаем:

$$\begin{aligned} b_2^4 + \frac{16}{b_2^4} &= \left(\frac{5 - \sqrt{29}}{2}\right)^4 + \frac{16}{\left(\frac{5 - \sqrt{29}}{2}\right)^4} \\ &= \frac{(5 - \sqrt{29})^4 + 256}{16} \\ &= \frac{625 - 580\sqrt{29} + 841 - 4640 + 2320\sqrt{29} + 256}{16} \\ &= \frac{6672 - 2940\sqrt{29}}{16} \\ &= 417 - \frac{735\sqrt{29}}{4} \end{aligned}$$

Ответ: b^4+16/b^4= 417±735√29/4.