Question

Даю 90 баллов! Действительное число y таково, что y−3/y=5. Чему равно y⁴+81/y⁴

Answer 1

$y-\dfrac{3}{y} =5$

Обе части равенства возведем в квадрат:

$\left(y-\dfrac{3}{y}\right)^2 =5^2$

$y^2-2\cdot y\cdot\dfrac{3}{y}+\left(\dfrac{3}{y}\right)^2 =25$

$y^2-6+\dfrac{9}{y^2} =25$

$y^2+\dfrac{9}{y^2} =25+6$

$y^2+\dfrac{9}{y^2} =31$

Еще раз выполняем ту же процедуру:

$\left(y^2+\dfrac{9}{y^2} \right)^2=31^2$

$\left(y^2\right)^2+2\cdot y^2\cdot \dfrac{9}{y^2}+ \left(\dfrac{9}{y^2} \right)^2=961$

$y^4+18+ \dfrac{81}{y^4} =961$

$y^4+ \dfrac{81}{y^4} =961-18$

$y^4+ \dfrac{81}{y^4} =943$

Ответ: 943

Answer 2

Давайте решим уравнение \(y - \frac{3}{y} = 5\) и найдем значение \(y\).

Умножим обе стороны уравнения на \(y\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[y^2 - 3 = 5y\]

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[y^2 - 5y - 3 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу квадратного корня:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -5\), и \(c = -3\).

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}\]

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2}\]

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(y\):

\[y_1 = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}\]

\[y_2 = \frac{5 - \sqrt{37}}{2}\]

Теперь мы можем использовать найденные значения \(y\) для вычисления выражения \(y^4 + \frac{81}{y^4}\).

Для \(y_1\):

\[y_1^4 + \frac{81}{y_1^4} = \left(\frac{5 + \sqrt{37}}{2}\right)^4 + \frac{81}{\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{2}\right)^4}\]

Аналогично, для \(y_2\):

\[y_2^4 + \frac{81}{y_2^4} = \left(\frac{5 - \sqrt{37}}{2}\right)^4 + \frac{81}{\left(\frac{5 - \sqrt{37}}{2}\right)^4}\]

Вычисления могут быть сложными, но они могут быть выполнены, и вы получите численные ответы.