Question

Y=2sinx+(1-2x)*cosx+3 найти минимум на промежутке (0:pi/2)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для нахождения минимума функции \(Y = 2\sin(x) + (1-2x)\cos(x) + 3\) на интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(Y\) по переменной \(x\). 2. Решите уравнение \(\frac{dY}{dx} = 0\) для определения критических точек. 3. Исследуйте знаки производной вокруг найденных критических точек и границ интервала. 4. Найдите значения функции \(Y\) в критических точках и на границах интервала. 5. Определите, в какой точке функция принимает минимальное значение.

Давайте начнем с первого шага.

Шаг 1: Нахождение производной

\[ \begin{align*} Y &= 2\sin(x) + (1-2x)\cos(x) + 3 \\ \frac{dY}{dx} &= 2\cos(x) - (1-2x)\sin(x) - 2\cos(x) \\ &= - (1-2x)\sin(x) \end{align*} \]

Шаг 2: Нахождение критических точек

Уравнение \(\frac{dY}{dx} = 0\):

\[ -(1-2x)\sin(x) = 0 \]

Отсюда получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{2}\).

Шаг 3: Исследование знаков производной

Используем тест знаков для определения поведения производной вокруг критических точек и на границах интервала \([0, \frac{\pi}{2}]\).

\[ \begin{array}{c|cccc} & x < 0 & 0 < x < \frac{1}{2} & x = \frac{1}{2} & \frac{1}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \hline -(1-2x)\sin(x) & - & + & 0 & - \end{array} \]

Шаг 4: Нахождение значений функции

Теперь найдем значения функции \(Y\) в критических точках и на границах интервала:

\[ \begin{align*} Y(0) &= 2\sin(0) + (1-2 \cdot 0)\cos(0) + 3 = 0 + 1 + 3 = 4 \\ Y\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\sin\left(\frac{1}{2}\right) + \left(1-2 \cdot \frac{1}{2}\right)\cos\left(\frac{1}{2}\right) + 3 \\ &\approx 2 \cdot 0.479 + (1-1)\cdot 0.877 + 3 \approx 2.958 \\ Y\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + (1-2 \cdot \frac{\pi}{2})\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3 \\ &= 2 + 0 - \pi + 3 \approx 4.142 \end{align*} \]

Шаг 5: Определение минимума

Минимальное значение функции на интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\) достигается в точке \(x = \frac{1}{2}\) и равно приблизительно \(2.958\).

Таким образом, минимум функции на указанном интервале равен приблизительно \(2.958\), и он достигается при \(x = \frac{1}{2}\).