Question

Десятизначное число назовём волнистым, если в его десятичной записи присутствуют только единицы, двойки и тройки, причём любые две соседние цифры различаются на 1. Найдите сумму всех волнистых чисел. Дам 35 б.

Answer 1

Идея такая: каждое волнистое число имеет следующий вид: двойки идут через один, а между ними стоят единицы либо тройки. Тогда каждому волнистому числу можно сопоставить волнистое число, в котором единицы и тройки поменяны местами, а двойки оставлены на месте. Сумма двух таких чисел, очевидно, равна $\underbrace{44\ldots 4}_{10}$.  Осталось посчитать количество волнистых чисел: если начинаются на $2$, то их $2^{5}$. Столько же их будет если двойка стоит на втором месте. Получаем $2^{6}$ волнистых чисел, а их сумма -- $\dfrac{2^{6}}{2}\cdot \underbrace{44\ldots 4}_{10} = 128\cdot \underbrace{11\ldots 1}_{10}$.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. Волнистое число - это такое десятизначное число, в котором только цифры 1, 2 и 3, и при этом любые две соседние цифры различаются на 1. Для начала, давайте построим все возможные варианты волнистых чисел.

У нас есть три цифры: 1, 2 и 3. Мы можем начать с любой из них, и далее каждую цифру можно заменить на ее "соседа" (такую, что различается на 1). Например:

1 -> 2 или 3 2 -> 1 или 3 3 -> 1 или 2

Теперь давайте сформируем все возможные варианты волнистых чисел, начиная с каждой из трех цифр:

1. Начинаем с 1: 1232123212 2. Начинаем с 2: 2321232123 3. Начинаем с 3: 3212321232

Теперь мы можем посчитать сумму всех этих чисел. Давайте сложим их:

1232123212 + 2321232123 + 3212321232 = 6765676567

Таким образом, сумма всех волнистых чисел равна 6765676567. Если вам нужно что-то еще, или если я что-то неправильно понял, пожалуйста, уточните ваш вопрос.