Question

5. Натуральное число м при делении на 5 дает остаток 3. а нату ральное число n при делении на 8 дает остаток 7. Какой остаток дает произведение мn при делении на число 4?

Answer 1

Ответ:

Остатком может быть любое целое  число  от 0, до  3

Объяснение:

m=5k+3

n=8p+7

Здесь  k  и р -целые неотрицательные.

mn=8*5kp+35k+24p+21

mn=4*(10kp+6p+5+8k)+3k+1

Остаток  от деления mn на 4 не определяется однозначно.

Это остаток от деления 3k+1 на 4.

Если k=0 остаток 1, если k=1 остаток 0 если k=2 остаток 3 если k=4 остаток 1 и т.д.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства остатков при умножении и делении.

Дано, что число м при делении на 5 дает остаток 3, а число n при делении на 8 дает остаток 7. Мы можем записать это в виде уравнений:

m ≡ 3 (mod 5) n ≡ 7 (mod 8)

Теперь у нас есть два уравнения, и мы хотим найти остаток произведения mn при делении на 4. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение m ≡ 3 (mod 5) говорит нам, что m может быть представлено в виде m = 5k + 3, где k - целое число. Подставим это выражение в уравнение для n:

(5k + 3)n ≡ 7 (mod 8)

Упростим это уравнение:

5kn + 3n ≡ 7 (mod 8)

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только одну переменную n.

Чтобы найти остаток произведения mn при делении на 4, мы можем использовать свойство остатков при умножении: если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то ac ≡ bd (mod m). В нашем случае, a = 5kn + 3n, b = 7, c = n и d = 1. Таким образом, мы можем записать:

(5kn + 3n)n ≡ 7n (mod 8)

Теперь мы можем рассмотреть каждое слагаемое по отдельности:

5kn * n ≡ 0 (mod 8), так как 5kn делится на 8 без остатка.

3n * n ≡ 3n^2 ≡ 3 * 7 ≡ 21 ≡ 5 (mod 8)

Теперь сложим оба слагаемых:

(5kn * n) + (3n * n) ≡ 0 + 5 ≡ 5 (mod 8)

Таким образом, остаток произведения mn при делении на 4 равен 5.

Ответ: Остаток, который дает произведение mn при делении на число 4, равен 5.