Question

Найти первообразную функцию, график которой проходит через точку: f(x) =2x3+x2+3;(-1;2)

Answer 1

Ответ:

F(x) = $\frac{x^{4} }{2} +\frac{x^{3} }{3} +3x +4\frac{5}{6}$

Объяснение:

Найдем первообразную

f(x) = 2x^3+x^2+3

F(x) = $\frac{x^{4} }{2} + \frac{x^{3} }{3} +3x + C$

т.к точка А имеет координаты (-1:2) то F(-1) = 2

F(-1) = $\frac{-1^{4} }{2} + \frac{-1^{3} }{3} +3 * (-1) + C$   =  $\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} - 3 +C$

приведем к общему знаменателю и вычислим

$\frac{3}{6} + \frac{-2}{6} - 3 + C = \frac{1}{6} - 3 + C = -2\frac{5}{6} + C$

и теперь вычислим чему равно C

$-2\frac{5}{6} + C = 2$

$C = 2 + 2\frac{5}{6}$

$C = 4\frac{5}{6}$

и подставляем C в нашу первообразную и получаем ответ

F(x) = $\frac{x^{4} }{2} +\frac{x^{3} }{3} +3x +4\frac{5}{6}$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции, график которой проходит через точку (-1,2), нам необходимо проинтегрировать функцию f(x) = 2x^3 + x^2 + 3.

Нахождение первообразной функции:

Для нахождения первообразной функции f(x), мы будем интегрировать каждый член функции по отдельности. Интегрируя каждый член, мы получим новую функцию F(x), которая будет первообразной функцией для f(x).

Интегрируем каждый член по отдельности: - Интеграл от 2x^3: (2/4)x^4 = (1/2)x^4 - Интеграл от x^2: (1/3)x^3 - Интеграл от 3: 3x

Теперь объединим все полученные интегралы и добавим произвольную постоянную C: F(x) = (1/2)x^4 + (1/3)x^3 + 3x + C

График функции:

Чтобы узнать, проходит ли график функции F(x) через точку (-1,2), подставим значения x = -1 и y = 2 в уравнение F(x):

F(-1) = (1/2)(-1)^4 + (1/3)(-1)^3 + 3(-1) + C = (1/2)(1) + (1/3)(-1) - 3 + C = 1/2 - 1/3 - 3 + C = 3/6 - 2/6 - 18/6 + C = -17/6 + C

Таким образом, чтобы график функции F(x) проходил через точку (-1,2), постоянная C должна быть равна 2 + 17/6 = 29/6.

Итак, первообразная функция f(x), график которой проходит через точку (-1,2), будет иметь вид:

F(x) = (1/2)x^4 + (1/3)x^3 + 3x + 29/6

Проверим этот ответ, подставив значения x = -1 в функцию F(x):

F(-1) = (1/2)(-1)^4 + (1/3)(-1)^3 + 3(-1) + 29/6 = (1/2)(1) + (1/3)(-1) - 3 + 29/6 = 1/2 - 1/3 - 18/6 + 29/6 = 3/6 - 2/6 - 17/6 + 29/6 = -17/6 + 29/6 = 12/6 = 2

Таким образом, график функции F(x) действительно проходит через точку (-1,2).