Question

Решить дифференциальное уравнение x'y+y=3 y(1)=2

Answer 1

Ответ:

$x'\, y+y=3\ \ ,\ \ y(1)=2\ \ ,\\\\\\\dfrac{dx}{dy}\cdot y+y=3\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{dx}{dy}+1=\dfrac{3}{y}\ \ \ \ (y\ne 0)\ ,\ \ \ dx=\Big(\dfrac{3}{y}-1\Big)\, dy\\\\\\\displaystyle \int dx=\int \Big(\dfrac{3}{y}-1\Big)\, dy\\\\\\x=3\, ln|y|-y+C\\\\\\y(1)=2:\ \ 1=3\, ln2-2+C\ \ , \ \ \ C=3-3\, ln2\\\\\\\underline{\ x=3\, ln|y|-y+3-3ln2\ }$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение: x'y + y = 3, y(1) = 2.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разделения переменных.

Перепишем уравнение в виде: x'dy + y = 3.

Выделим переменные, переместив все члены с y в одну сторону и все члены с x в другую: x'dy = 3 - y.

Теперь разделим обе части уравнения на (3 - y): dy / (3 - y) = dx / x'.

Проинтегрируем обе части уравнения: ∫(dy / (3 - y)) = ∫(dx / x').

Левую часть можно проинтегрировать следующим образом: ∫(dy / (3 - y)) = -ln|3 - y| + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Для правой части воспользуемся формулой замены переменной: dx / x' = dx / d(x - x0), где x0 - значение x, при котором y = y0 (в данном случае y0 = 2).

Проинтегрируем правую часть: ∫(dx / d(x - x0)) = ∫dx / (x - x0) = ln|x - x0| + C2, где C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь получаем уравнение: -ln|3 - y| + C1 = ln|x - x0| + C2.

Суммируем константы C1 и C2: -ln|3 - y| + C1 + ln|x - x0| + C2 = C.

Объединяем логарифмы с разными основаниями в один: ln|x - x0| - ln|3 - y| + C = C.

Заменим константу суммой C1 + C2: ln|x - x0| - ln|3 - y| = C.

Применим свойство логарифма: ln(|x - x0| / |3 - y|) = C.

Возведем обе части уравнения в экспоненту: |x - x0| / |3 - y| = e^C.

Так как константа e^C может быть положительной или отрицательной, уберем модули: (x - x0) / (3 - y) = e^C.

Обозначим новую константу e^C как k: (x - x0) / (3 - y) = k.

Решим это уравнение относительно y: y = 3 - (x - x0) / k.

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения: y = 3 - (x - x0) / k, где x0 и k - произвольные постоянные.

Для нахождения конкретного решения подставим начальное условие y(1) = 2: 2 = 3 - (1 - x0) / k.

Упростим это уравнение: (1 - x0) / k = 3 - 2 = 1.

Таким образом, (1 - x0) / k = 1.

Решим это уравнение относительно x0: 1 - x0 = k.

Таким образом, x0 = 1 - k.

Подставим найденное значение x0 в общее решение: y = 3 - (x - (1 - k)) / k = 3 - (x - 1 + k) / k = 3 - (x - 1) / k - 1.

Таким образом, конкретное решение дифференциального уравнения имеет вид: y = 3 - (x - 1) / k - 1.