Question

Докажите что значение выражения (2/3-√2-√2/√2+3)(8+√2) является рациональным числом

Answer 1

$\frac{58 - 16 \sqrt{2} }{3}$

Answer 2

Давайте разберемся с выражением \( (2/3 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3})(8 + \sqrt{2}) \) и определим его тип.

1. Раскрываем скобки: \[ \begin{align*} & (2/3 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3})(8 + \sqrt{2}) \\ & = \frac{2}{3}(8 + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(8 + \sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3}(8 + \sqrt{2}) \end{align*} \]

2. Упрощаем каждое слагаемое: \[ \begin{align*} & \frac{2}{3}(8 + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(8 + \sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3}(8 + \sqrt{2}) \\ & = \frac{16}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} - 2 - \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3} - 2\sqrt{2} \end{align*} \]

3. Общий знаменатель в последнем слагаемом: \[ \begin{align*} & \frac{16}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} - 2 - \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3} - 2\sqrt{2} \\ & = \frac{16}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} - 2 - \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 3)} - 2\sqrt{2} \end{align*} \]

4. Сложение подобных членов: \[ \begin{align*} & \frac{16}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} - 2 - \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 3)} - 2\sqrt{2} \\ & = \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 3)} \end{align*} \]

5. Общий знаменатель в последнем слагаемом: \[ \begin{align*} & \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 3)} \\ & = \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{2 - 9} \end{align*} \]

6. Сложение подобных членов: \[ \begin{align*} & \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{2 - 9} \\ & = \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} \end{align*} \]

7. Общий знаменатель в последнем слагаемом: \[ \begin{align*} & \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} \\ & = \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7} \end{align*} \]

8. Сложение подобных членов: \[ \begin{align*} & \frac{16}{3} - 2 - 8\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7} \\ & = \frac{10}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7} \end{align*} \]

Таким образом, выражение \( (2/3 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3})(8 + \sqrt{2}) \) представляет собой рациональное число, так как все члены являются рациональными.