Question

СРОЧНО!!!!!!!!!!!!!!Докажите неравенство x^2+9y^4+1>=-3xy^2-x+3y^2

Answer 1

Посмотрим как на квадратное относительно $x$: $x^2+x(3y^2+1)+9y^4-3y^2+1 \geq 0$, значит, дискриминант неположителен: $(3y^2+1)^2-(36y^4-12y^2+4) = -27y^4+18y^2-3 = -3(3y^2-1)^2\leq 0$, что и требовалось.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство более подробно и постараемся доказать его.

Имеем неравенство: \[x^2 + 9y^4 + 1 \geq -3xy^2 - x + 3y^2.\]

Для упрощения давайте перенесем все члены в одну сторону: \[x^2 + 3xy^2 + x + 9y^4 - 3y^2 - 1 \geq 0.\]

Теперь давайте рассмотрим, как можно преобразить это выражение. Мы видим квадратичные члены от \(x\) и \(y\), а также константные члены. Попробуем выделить полные квадраты.

\[ (x^2 + 2xy + y^2) + (x - 2y)^2 + 9(y^4 - y^2 + 1) \geq 0.\]

Теперь у нас есть сумма квадратов, и каждое из слагаемых неотрицательно. Таким образом, левая сторона неравенства всегда неотрицательна, и неравенство верно для всех действительных значений переменных \(x\) и \(y\).

Таким образом, мы доказали, что \(x^2 + 9y^4 + 1 \geq -3xy^2 - x + 3y^2\) для всех \(x\) и \(y\).

Answer 3

Для начала, давайте перепишем неравенство в стандартной форме, чтобы было проще анализировать:

x^2 + 9y^4 + 1 >= -3xy^2 - x + 3y^2

Перенесем все члены в левую часть:

x^2 + 3xy^2 + x + 9y^4 - 3y^2 + 1 >= 0

Теперь давайте рассмотрим это неравенство как квадратное уравнение относительно переменной x:

x^2 + (3y^2 + 1)x + (9y^4 - 3y^2 + 1) >= 0

Чтобы доказать, что данное неравенство выполняется, нужно показать, что дискриминант этого квадратного уравнения меньше или равен нулю. Если дискриминант меньше или равен нулю, то уравнение имеет только один или ни одного корня, что означает, что неравенство выполняется для всех значений x и y.

Дискриминант квадратного уравнения равен:

D = (3y^2 + 1)^2 - 4(9y^4 - 3y^2 + 1)

Раскроем скобки и упростим:

D = 9y^4 + 6y^2 + 1 - 36y^4 + 12y^2 - 4 D = -27y^4 + 18y^2 - 3

Теперь нам нужно показать, что D <= 0. Для этого можно рассмотреть функцию D(y) = -27y^4 + 18y^2 - 3 и найти ее экстремумы. Если значение функции меньше или равно нулю во всех точках, то неравенство выполняется.

Для нахождения экстремумов функции D(y), найдем производную и приравняем ее к нулю:

D'(y) = -108y^3 + 36y = 0

Разделим обе части на 36y:

-3y^2 + 1 = 0

Решим это уравнение:

y^2 = 1/3 y = ±√(1/3)

Теперь подставим найденные значения в функцию D(y):

D(√(1/3)) = -27(1/3)^2 + 18(1/3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6 D(-√(1/3)) = -27(-1/3)^2 + 18(-1/3) - 3 = -9 - 6 - 3 = -18

Заметим, что оба значения D меньше нуля, что означает, что D <= 0 для всех значений y.

Таким образом, мы показали, что дискриминант D меньше или равен нулю, что в свою очередь означает, что исходное неравенство выполняется для любых значений x и y.

Ответ: неравенство x^2 + 9y^4 + 1 >= -3xy^2 - x + 3y^2 выполняется для всех значений x и y.