Question

Lim n-->∝ sin2n/n lim n-->∝ cos2n/n найдите предмет последовательности: ​

Answer 1

lim n-->infinity ((sin(2n))/(n))=0

lim n-->infinity ((cos(2n))/(n))=0

Answer 2

Давайте начнем с решения пределов:

lim n→∞ sin(2n)/n

Для нахождения этого предела мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое гласит, что если предел функции f(x)/g(x) равен бесконечности, то он равен пределу производной функций f(x) и g(x). Производная sin(2n) равна 2cos(2n), а производная n равна 1. Таким образом, мы получаем:

lim n→∞ sin(2n)/n = lim n→∞ 2cos(2n)/1 = 2lim n→∞ cos(2n)

Так как cos(2n) колеблется между -1 и 1, то предел 2cos(2n) будет колебаться между -2 и 2. Следовательно, предел sin(2n)/n равен бесконечности.

Теперь найдем предел:

lim n→∞ cos(2n)/n

Аналогично предыдущему пределу, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя:

lim n→∞ cos(2n)/n = lim n→∞ -2sin(2n)/1 = -2lim n→∞ sin(2n)

Так как sin(2n) также колеблется между -1 и 1, то предел -2sin(2n) будет колебаться между -2 и 2. Следовательно, предел cos(2n)/n равен нулю.

Итак, у нас есть последовательности sin(2n)/n, которая стремится к бесконечности, и cos(2n)/n, которая стремится к нулю. Таким образом, предмет последовательности можно описать как движение между бесконечностью и нулем при увеличении n до бесконечности.