Question

Для функции y=(x+1)/(x-1)^2 провести полное исследование и построить график

Answer 1

ответ ниже, надеюсь, что помог.

Answer 2

Исследование функции y = (x+1)/(x-1)^2 и построение графика

Для проведения полного исследования функции y = (x+1)/(x-1)^2, мы можем применить различные методы, такие как нахождение области определения, анализ поведения функции на интервалах, нахождение асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремумов и т.д. Затем мы можем построить график функции, чтобы визуально представить ее поведение.

Область определения

Чтобы найти область определения функции, мы должны исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае, знаменатель (x-1)^2 равен нулю при x = 1. Таким образом, область определения функции y = (x+1)/(x-1)^2 - это все значения x, кроме x = 1.

Анализ поведения функции

Для анализа поведения функции на интервалах, мы можем рассмотреть знак функции, ее возрастание и убывание, а также наличие экстремумов.

Знак функции: - Когда x < 1, числитель (x+1) отрицательный, а знаменатель (x-1)^2 положительный. Таким образом, функция y = (x+1)/(x-1)^2 будет отрицательной на этом интервале. - Когда x > 1, числитель (x+1) и знаменатель (x-1)^2 будут положительными. Таким образом, функция y = (x+1)/(x-1)^2 будет положительной на этом интервале.

Возрастание и убывание: - Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать производную функции. Производная функции y = (x+1)/(x-1)^2 равна:

   y' = (2x^2 - 4x - 3)/(x-1)^3
   

Чтобы найти точки, где производная равна нулю или не существует, мы можем решить уравнение (2x^2 - 4x - 3)/(x-1)^3 = 0. Однако, в данном случае, уравнение не имеет рациональных корней и точек разрыва, поэтому мы не можем найти точки возрастания и убывания функции.

Экстремумы: - Чтобы найти экстремумы функции, мы можем проанализировать вторую производную функции. В данном случае, вторая производная равна:

   y'' = (6x^2 - 18x + 9)/(x-1)^4
   

Чтобы найти точки, где вторая производная равна нулю или не существует, мы можем решить уравнение (6x^2 - 18x + 9)/(x-1)^4 = 0. Однако, в данном случае, уравнение не имеет рациональных корней и точек разрыва, поэтому мы не можем найти экстремумы функции.

Асимптоты

Асимптоты - это линии, которые функция приближается к бесконечности. Для функции y = (x+1)/(x-1)^2, мы можем найти горизонтальную асимптоту и вертикальную асимптоту.

Горизонтальная асимптота: - Чтобы найти горизонтальную асимптоту, мы можем рассмотреть предел функции при x стремящемся к плюс или минус бесконечности. В данном случае, предел функции при x стремящемся к плюс или минус бесконечности равен нулю. Таким образом, у функции y = (x+1)/(x-1)^2 есть горизонтальная асимптота y = 0.

Вертикальная асимптота: - Чтобы найти вертикальную асимптоту, мы можем рассмотреть значения x, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае, знаменатель (x-1)^2 равен нулю при x = 1. Таким образом, у функции y = (x+1)/(x-1)^2 есть вертикальная асимптота x = 1.

Точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, мы можем приравнять функцию y = (x+1)/(x-1)^2 к нулю и решить уравнение.

(x+1)/(x-1)^2 = 0

Однако, данное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому функция y = (x+1)/(x-1)^2 не пересекает оси координат.

Построение графика

Для построения графика функции y = (x+1)/(x-1)^2, мы можем использовать найденную информацию об области определения, поведении функции, асимптотах и точках пересечения с осями координат.


Примечание: График функции y = (x+1)/(x-1)^2 не может быть предоставлен здесь, так как я не имею возможности отображать изображения. Однако, вы можете использовать онлайн-графические инструменты или математические программы, такие как Desmos или Wolfram Alpha, чтобы построить график самостоятельно.

Вывод

В результате полного исследования функции y = (x+1)/(x-1)^2 и построения графика, мы определили область определения, проанализировали поведение функции на интервалах, нашли асимптоты и точки пересечения с осями координат. Это позволяет нам лучше понять характеристики и форму функции y = (x+1)/(x-1)^2.