Question

Доведіть, що вираз х²– 4х+7 набуває додатних значень при всіх значеннях х. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

х²– 4х+7 = х² – 4х + 4 + 3 = (x - 2)² + 3

(x - 2)² ⩾ 0; 3 > 0. => (x - 2)² + 3 > 0

Минимальное значение (x - 2)² + 3 = 3 (Т.к. Минимальное значение, которое может принимать квадрат - это 0), при x = 2.

Answer 2

Вираз х² – 4х + 7 є квадратним тричленом. Щоб довести, що він набуває додатних значень при всіх значеннях х, ми можемо використати метод дослідження знаків.

Дослідження знаків виразу х² – 4х + 7:

1. Знайдемо точки, в яких вираз може змінити знак. Це будуть точки, в яких вираз дорівнює нулю або де змінюється його знак. Для цього розв'яжемо рівняння х² – 4х + 7 = 0.

Розв'язок рівняння х² – 4х + 7 = 0 можна знайти за допомогою квадратного рівняння або за допомогою формули дискримінанту. Однак, в даному випадку ми не шукаємо конкретні значення х, а досліджуємо знаки виразу. Тому ми можемо просто зазначити, що рівняння х² – 4х + 7 = 0 не має розв'язків, оскільки дискримінант D = (-4)² - 4 * 1 * 7 = 16 - 28 = -12 від'ємний.

2. Виберемо довільну точку з кожного інтервалу, утвореного точками, де вираз може змінити знак. Наприклад, можемо вибрати точки х = 0, х = 1 і х = 2.

- При х = 0: х² – 4х + 7 = 0² – 4 * 0 + 7 = 7 > 0. - При х = 1: х² – 4х + 7 = 1² – 4 * 1 + 7 = 4 – 4 + 7 = 7 > 0. - При х = 2: х² – 4х + 7 = 2² – 4 * 2 + 7 = 4 – 8 + 7 = 3 > 0.

3. Зробимо висновок про знаки виразу х² – 4х + 7 на кожному інтервалі.

За результатами дослідження знаків, ми бачимо, що вираз х² – 4х + 7 набуває додатних значень при всіх значеннях х.

Найменше значення виразу х² – 4х + 7 і при якому значенні х воно досягається:

Щоб знайти найменше значення виразу х² – 4х + 7, ми можемо використати поняття вершини параболи. Вираз х² – 4х + 7 є параболою, яка відкривається вгору, оскільки коефіцієнт при х² додатній.

Формула для знаходження координат вершини параболи виглядає так: х = -b / (2a), де а і b - коефіцієнти при х² і х відповідно.

У нашому випадку, а = 1 і b = -4. Підставимо ці значення в формулу:

х = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2.

Отже, найменше значення виразу х² – 4х + 7 дорівнює 3, і воно досягається при х = 2.

Таким чином, вираз х² – 4х + 7 набуває додатних значень при всіх значеннях х, а найменше значення цього виразу дорівнює 3 і досягається при х = 2.