Question

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

Answer 1

$\frac{dy}{x^2}=\frac{dx}{y} \Leftrightarrow ydy=x^2dx \Leftrightarrow \int{y}\, dy=\int{x^2}\, dx \Leftrightarrow \frac{y^2}{2}=\frac{x^3}{3}+C\Leftrightarrow y^2=\frac{2x^3}{3}+C.$

Находим частное решение.

$y(0)=2 \Rightarrow 4=\frac{2\cdot 0}{3} +C \Rightarrow C=4$

Отсюда:

$y^2=\frac{2x^3}{3}+4 \Rightarrow \boxed{y=\pm\sqrt{\frac{2x^3}{3}+4} }$

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка, сначала необходимо выразить искомую функцию через исходное уравнение. Затем производится интегрирование обеих частей уравнения.

Допустим, у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка вида: dy/dx = f(x, y)

Чтобы найти частное решение данного уравнения, необходимо сначала выразить y через x, а затем проинтегрировать обе стороны уравнения.

После интегрирования получим выражение для y в виде функции от x, которое и будет частным решением данного дифференциального уравнения.

Пример: Пусть у нас есть уравнение dy/dx = x + y. Мы хотим найти его частное решение.

Сначала выразим y через x: dy = (x + y)dx dy - ydx = xdx dy/y - dx = xdx/y

Затем проинтегрируем обе стороны уравнения: ∫(1/y)dy - ∫dx = ∫(x/y)dx ln|y| - x = ∫(x/y)dx ln|y| - x = (1/2)y^2 + C

Таким образом, мы получили выражение для y в виде функции от x, которое и является частным решением данного дифференциального уравнения.