Question

Срочно, пожалуйста Докажите тождество: sin3α\sinα-cos3α\cosα=2

Answer 1

Формула синуса разности:

$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

Выполним приведение к общему знаменателю:

$\dfrac{\sin3\alpha }{\sin\alpha } -\dfrac{\cos3\alpha }{\cos\alpha } =\dfrac{\sin3\alpha\cos\alpha -\cos3\alpha\sin\alpha }{\sin\alpha \cos\alpha } =\dfrac{\sin(3\alpha-\alpha) }{\sin\alpha \cos\alpha } =$

$=\dfrac{\sin2\alpha }{\sin\alpha \cos\alpha } =\dfrac{2\sin2\alpha }{2\sin\alpha \cos\alpha } =\dfrac{2\sin2\alpha }{\sin2\alpha } =2$

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами для произведения синусов и косинусов:

sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)] cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A-B) + cos(A+B)]

Теперь подставим α и 3α вместо A и B:

sin(3α)sin(α) = (1/2)[cos(3α-α) - cos(3α+α)] = (1/2)[cos(2α) - cos(4α)] cos(3α)cos(α) = (1/2)[cos(3α-α) + cos(3α+α)] = (1/2)[cos(2α) + cos(4α)]

Теперь выразим cos(4α) через cos(2α):

cos(4α) = 2cos^2(2α) - 1

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:

sin(3α)sin(α) - cos(3α)cos(α) = (1/2)[cos(2α) - (2cos^2(2α) - 1)] - (1/2)[cos(2α) + (2cos^2(2α) - 1)] = (1/2)[cos(2α) - 2cos^2(2α) + 1 - cos(2α) - 2cos^2(2α) + 1] = 2

Таким образом, мы доказали тождество sin(3α)sin(α) - cos(3α)cos(α) = 2.