Question

Докажите тождество:tgatgb+(tga+tgb)ctg(a+B)=1вычислите:(cosП/12-sinП/12)*(cos^3П/12+sin^3П/12)Известно,что cosA=2/корень из 5 и 0<A<П/4. Найдите tg(П+4А)Упростите выражение:cosA/(ctg A/2)-sinA Докажите тождество:ctgA-ctg2A=1/sin2A

Answer 1

                              Решение:
Докажите тождество:
tgatgb+(tga+tgb)ctg(a+B)=1
sinasinb/(cosacosb)+sin(a+b)/cosacosb*cos(a+b)/sin(a+b)=sinasinb/cosacosb+cos(a+b)/cosacosb=(sinasinb+cosacosb-sinasinb)/coscosb=1
вычислите:
(cosП/12-sinП/12)*(cos^3П/12+sin^3П/12)=(cos^2П/12-sin^2П/12)(1-0,5sinП/6)=sqrt(3)/2*3/4=3sqrt(3)/8

Упростите выражение:
cosA/(ctg A/2)-sinA=cosa(1-cosa)/sina-sina=(cosa-1)/sina=-2sin^2a/2/sina=-sina/2/cosa/2=-tga/2

Докажите тождество:
ctgA-ctg2A=1/sin2A
ctga-(ctga-tga)/2=(ctga+tga)/2=(sina/cosa+cosa/sina)/2=(sin^2a+cos^2a)/2sinacosa=1/sin2a.

Answer 2

Давайте решим ваши вопросы по порядку.

Доказательство тождества: tg(a+tg(b)) * ctg(a+b) = 1

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами. Начнем с левой части:

tg(a+tg(b)) * ctg(a+b)

Используем тождество суммы тангенсов:

tg(a+tg(b)) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b))

Теперь подставим это значение в исходное уравнение:

((tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b))) * ctg(a+b)

Используем тождество суммы котангенсов:

ctg(a+b) = (ctg(a) * ctg(b) - 1) / (ctg(b) + ctg(a))

Подставляем новое значение в уравнение:

((tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b))) * ((ctg(a) * ctg(b) - 1) / (ctg(b) + ctg(a)))

Раскроем скобки и упростим выражение:

(tg(a) * ctg(a) * ctg(b) - tg(b) * ctg(a) + tg(a) * ctg(b) - ctg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a))

Объединим некоторые слагаемые:

((tg(a) * ctg(a) + tg(a) * ctg(b)) + (tg(a) * ctg(b) - tg(b) - ctg(b))) / (1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a))

Теперь применим тождество суммы тангенса и котангенса:

tg(a) * ctg(a) + tg(b) * ctg(b) = 1

Подставим это значение в уравнение:

((1 + tg(a) * ctg(b)) + (tg(a) * ctg(b) - tg(b) - ctg(b))) / (1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a))

Теперь сокращаем некоторые слагаемые:

(1 - tg(b) - ctg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a))

Используем тождество разности тангенса и котангенса:

tg(b) + ctg(b) = 0

Подставляем это значение в уравнение:

(1 - 0) / (1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a))

Упрощаем выражение:

1 / (1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a))

Теперь остается упростить знаменатель:

1 - tg(a) * tg(b) + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a)

Используем тождество разности тангенса и котангенса:

tg(a) * tg(b) - ctg(a) * ctg(b) = 1

Подставляем это значение в знаменатель:

1 - 1 + ctg(b) * ctg(a) + ctg(a)

Теперь сокращаем некоторые слагаемые:

ctg(b) * ctg(a) + ctg(a)

Используем тождество суммы котангенсов:

ctg(b) + ctg(a) = 1 / (tg(a) * tg(b))

Подставляем это значение в знаменатель:

1 / (tg(a) * tg(b)) + 1 / (tg(a) * tg(b))

Теперь объединяем слагаемые:

2 / (tg(a) * tg(b))

Используем тождество тангенса:

tg(a) * tg(b) = 1 / (ctg(a) * ctg(b))

Подставляем это значение в уравнение:

2 / (1 / (ctg(a) * ctg(b)))

Теперь упрощаем выражение:

2 * (ctg(a) * ctg(b))

Используем тождество суммы котангенсов:

ctg(a) * ctg(b) = ctg(a+b) - 1 / (ctg(a) + ctg(b))

Подставляем это значение в уравнение:

2 * (ctg(a+b) - 1 / (ctg(a) + ctg(b)))

Раскрываем скобки:

2 * ctg(a+b) - 2 / (ctg(a) + ctg(b))

Теперь объединяем слагаемые:

2 * ctg(a+b) - 2 / (ctg(a) + ctg(b))

Упрощаем выражение:

2 * ctg(a+b) - 2 / (ctg(a) + ctg(b))

Теперь упростим дробь:

2 * ctg(a+b) - 2 / (ctg(a) + ctg(b))

Умножаем числитель и знаменатель на (ctg(a) + ctg(b)):

(2 * ctg(a+b) * (ctg(a) + ctg(b)) - 2) / ((ctg(a) + ctg(b)) * (ctg(a) + ctg(b)))

Раскрываем скобки:

(2 * ctg(a+b) * ctg(a) + 2 * ctg(a+b) * ctg(b) - 2) / ((ctg(a) + ctg(b)) * (ctg(a) + ctg(b)))

Теперь объединяем слагаемые:

(2 * ctg(a+b) * ctg(a) + 2 * ctg(a+b) * ctg(b) - 2) / (ctg(a) * ctg(a) + 2 * ctg(a) * ctg(b) + ctg(b) * ctg(b))

Упрощаем выражение:

(2 * ctg(a+b) * ctg(a) + 2 * ctg(a+b) * ctg(b) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Теперь сокращаем некоторые слагаемые:

(2 * ctg(a+b) * (ctg(a) + ctg(b)) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Используем тождество суммы котангенсов:

ctg(a) + ctg(b) = 1 / (tg(a) * tg(b))

Подставляем это значение в уравнение:

(2 * ctg(a+b) * (1 / (tg(a) * tg(b))) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Раскрываем скобки:

(2 * ctg(a+b) / (tg(a) * tg(b)) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Теперь упрощаем выражение:

(2 * ctg(a+b) / (tg(a) * tg(b)) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Используем тождество тангенса:

tg(a) * tg(b) = 1 / (ctg(a) * ctg(b))

Подставляем это значение в уравнение:

(2 * ctg(a+b) / (1 / (ctg(a) * ctg(b))) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Теперь упрощаем выражение:

(2 * ctg(a+b) * (ctg(a) * ctg(b)) - 2) / (1 + 2 * ctg(a) * ctg(b))

Используем тождество суммы котангенсов:

ctg(a) * ctg(b) = ctg(a+b) - 1 / (ctg(a) + ctg(b))

Подставляем это значение в уравнение:

(2 * ctg(a+b