Question

Залежність пройденого шляху матеріальної точки від часу задана рівнянням: S = A – Bt + Ct2 + Dt3 , де С = 0,2 м/с2 , D = 0,1 м/с3 . Визначити: 1) через який час t після початку руху прискорення а = 1 м/с2 , 2) середнє прискорення за цей проміжок часу.

Answer 1

Ответ:

1) t = 1 с

2) aср = 0.7 м/с²

Объяснение:

Зависимость пройденного пути материальной точки от времени задана уравнением:

S = A–Bt+Ct²+Dt³

где С = 0.2 м/с², D = 0.1 м/с³.

Определить:

1) через какое время t после начала движения ускорения а = 1 м/с²,

2) среднее ускорение за этот период времени.

-------

Скорость является первой производной от пути, а ускорение - второй:

V(t) = S'(t) = -B+2Ct+3Dt²

a(t) = V'(t) = 2C+6Dt

Подставляем имеющиеся данные:

a = 2*0.2+6*0.1*t = 0.6t+0.4

1) берем ускорение = 1 м/с²:

0.6t+0.4 = 1

0.6t = 0.6

t = 1 с

2) среднее значение ускорения (функция линейная) aср = (a(1)+a(0))/2

a(1) = 0.6*1+0.4 = 1 м/с²

a(0) = 0.6*0+0.4 = 0.4 м/с²

aср = (1+0.4)/2 = 0.7 м/с²

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо використати рівняння руху для матеріальної точки, в якому шлях (S) залежить від часу (t). За вказаним у завданні рівнянням:

\[ S = A - Bt + Ct^2 + Dt^3 \]

Де:

- \( A \) - початкове положення матеріальної точки, - \( B \) - початкова швидкість матеріальної точки, - \( C \) - половина коефіцієнта прискорення, - \( D \) - третина коефіцієнта прискорення.

У нашому випадку \( A = 0 \) (так як не вказано інше), \( B = 0 \) (оскільки не зазначено початкову швидкість), \( C = 0.2 \, \text{м/с}^2 \), \( D = 0.1 \, \text{м/с}^3 \).

1) Час після початку руху, коли прискорення \( a = 1 \, \text{м/с}^2 \):

Для знаходження часу \( t \), коли прискорення \( a = 1 \, \text{м/с}^2 \), ми можемо використати другу похідну \( a = \frac{d^2S}{dt^2} \). Підставимо дані:

\[ a = \frac{d^2S}{dt^2} = 2C = 2 \times 0.2 \, \text{м/с}^2 = 0.4 \, \text{м/с}^2 \]

Тепер розв'яжемо рівняння \( 0.4 = 1 - 2Bt + 3Dt^2 \) відносно \( t \).

\[ 2Bt = 1 - 3Dt^2 \]

\[ Bt = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}Dt^2 \]

\[ t = \frac{1}{2B} - \frac{3D}{2B}t^2 \]

\[ t^2 + \frac{3D}{2B}t - \frac{1}{2B} = 0 \]

Підставимо значення \( B = 0 \) та \( D = 0.1 \, \text{м/с}^3 \):

\[ t^2 - \frac{1}{2B} = 0 \]

\[ t^2 = \frac{1}{2B} \]

\[ t = \sqrt{\frac{1}{2B}} \]

\[ t = \sqrt{\frac{1}{2 \times 0.1}} = \sqrt{5} \, \text{с} \]

Таким чином, час після початку руху, коли прискорення \( a = 1 \, \text{м/с}^2 \), дорівнює \( \sqrt{5} \) секунд.

2) Середнє прискорення за цей проміжок часу:

Середнє прискорення \( \bar{a} \) визначається як зміна швидкості поділена на час:

\[ \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]

Знаємо, що \( v = \frac{dS}{dt} \). Знайдемо \( \Delta v \) та \( \Delta t \) на проміжку часу від \( t = 0 \) до \( t = \sqrt{5} \) секунд:

\[ \Delta v = v(\sqrt{5}) - v(0) \] \[ \Delta t = \sqrt{5} - 0 \]

Знайдемо \( v(t) \) підставляючи \( S(t) \) в рівняння для швидкості:

\[ v(t) = \frac{dS}{dt} = -B + 2Ct + 3Dt^2 \]

Підставимо відомі значення:

\[ v(t) = -2 \times 0 + 2 \times 0.2t + 3 \times 0.1t^2 \]

\[ v(t) = 0.4t + 0.3t^2 \]

Тепер знайдемо \( \Delta v \) та \( \Delta t \):

\[ \Delta v = v(\sqrt{5}) - v(0) \] \[ \Delta t = \sqrt{5} - 0 \]

\[ \Delta v = 0.4\sqrt{5} + 0.3(\sqrt{5})^2 \] \[ \Delta t = \sqrt{5} \]

\[ \Delta v = 0.4\sqrt{5} + 0.3 \times 5 \] \[ \Delta t = \sqrt{5} \]

\[ \Delta v = 0.4\sqrt{5} + 1.5 \] \[ \Delta t = \sqrt{5} \]

\[ \Delta v = 1.5 + 0.4\sqrt{5} \] \[ \Delta t = \sqrt{5} \]

Тепер можемо знайти середнє прискорення:

\[ \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{1.5 + 0.4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]

Отже, середнє прискорення за цей проміжок часу дорівнює \( \frac{1.5 + 0.4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \) м/с².