Question

Терміново! Даю 20 балів Задача 2. Залежність шляху, пройденого тілом, від часу задана рівнянням =3+2−3^2+4^3. Знайти залежність прискорення від часу . Побудувати графіки шляху й прискорення від часу для 0≤t≤3 (c) через 0,5с. Визначити середнє значення прискорення тіла за цей інтервал часу.

Answer 1

Щоб знайти залежність прискорення від часу, потрібно двічі похіднувати задану функцію шляху відносно часу. Дана функція шляху виглядає так:

s(t) = 3t + 2t^2 - 3t^3 + 4t^4.

Для знаходження шляху (відомого як с) від часу, треба взяти похідну цієї функції за часом (t):

c(t) = s'(t) = d/dt [3t + 2t^2 - 3t^3 + 4t^4].

Отримаємо:

c(t) = 3 + 4t - 9t^2 + 16t^3.

Далі, щоб знайти прискорення, потрібно знову взяти похідну функції пройденого шляху відносно часу:

a(t) = c'(t) = d/dt [3 + 4t - 9t^2 + 16t^3].

Отримаємо:

a(t) = 4 - 18t + 48t^2.

Тепер, ми можемо побудувати графіки шляху та прискорення від часу для 0 ≤ t ≤ 3:

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Функції шляху та прискорення
t = np.linspace(0, 3, 100)
s = 3*t + 2*t**2 - 3*t**3 + 4*t**4
a = 4 - 18*t + 48*t**2

# Побудова графіків
plt.figure(figsize=(10, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, s, label='Шлях (s)')
plt.xlabel('Час (t)')
plt.ylabel('Шлях (s)')
plt.title('Графік шляху від часу')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t, a, label='Прискорення (a)', color='red')
plt.xlabel('Час (t)')
plt.ylabel('Прискорення (a)')
plt.title('Графік прискорення від часу')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Щоб знайти середнє значення прискорення за інтервалом часу [0, 3], треба знайти відоме як інтеграл від a(t) за цей інтервал. Це можна зробити за допомогою відомого як визначений інтеграл:

$$\bar{a} = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} a(t) \, dt$$

Де $\bar{a}$ - середнє значення прискорення. За підстановкою значень, отримаємо:

$$\bar{a} = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} (4 - 18t + 48t^2) \, dt$$

Після обчислень, отримаємо значення середнього прискорення.