Question

При вимушених коливаннях на резонансній частоті струму в контурі, елементи якого з'єднані послідовно, напруга на конденсаторі (у вольтах) змінюється за законом U_{C}=25 cos 10^{3} \pi t. Ємність конденсатора становить 1 мкФ. Визначте індуктивність котушки та встановіть закон I(t) зміни сили струму з часом. Help

Answer 1

Ответ:

см фото

Объяснение:

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо рівняння кола, яке описує зміну напруги на конденсаторі в коливальному контурі. Рівняння для напруги на конденсаторі у вигляді струму можна записати як:

\[ U_C(t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} I(\tau) \, d\tau \]

де \( U_C(t) \) - напруга на конденсаторі, \( I(t) \) - сила струму, \( C \) - ємність конденсатора.

В даному випадку вже задане \( U_C(t) = 25 \cos(10^3 \pi t) \) та \( C = 1 \, \mu\text{F} \). Знайдемо силу струму \( I(t) \).

\[ I(t) = C \frac{dU_C(t)}{dt} \]

Похідна від \( U_C(t) \) є:

\[ \frac{dU_C(t)}{dt} = -25 \times 10^3 \pi \sin(10^3 \pi t) \]

Тепер можемо підставити значення і знайти силу струму:

\[ I(t) = -25 \times 10^3 \pi \times 1 \times 10^{-6} \sin(10^3 \pi t) \]

З цим виразом вже маємо функцію сили струму \( I(t) \). Тепер використаємо це для знаходження індуктивності котушки.

В імпедансі \( Z \) кола в серійному RLC-контурі, де \( R \) - опір, \( L \) - індуктивність, \( C \) - ємність, можна записати як:

\[ Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) \]

де \( \omega \) - кутова частота (\( \omega = 2\pi f \)).

На резонансній частоті коло є чисто активним, тобто \( \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \). Звідси випливає, що \( \omega L = \frac{1}{\omega C} \). Підставимо значення \( \omega = 10^3 \pi \) та \( C = 1 \, \mu\text{F} \) та вирішимо рівняння відносно \( L \):

\[ 10^3 \pi L = \frac{1}{10^3 \pi \times 10^{-6}} \]

Розв'яжемо це рівняння та отримаємо значення індуктивності \( L \). Після знаходження індуктивності можна побудувати закон зміни сили струму з часом \( I(t) \).

Обчислимо значення індуктивності та отриману функцію сили струму.