Question

Решить задачу (пожалуйста, поподробней): Поезд движется по закруглению радиусом R = 100 м, причемзависимость его координаты от времени дается уравнением x = Ct³ , гдеС = 10 м/с³ – постоянная величина. Найти полное ускорение поезда α в тотмомент, когда его скорость υ=54 км/ч.Ответ должен получится: а = 4,8 м/с²

Answer 1

Ответ:

Полное ускорение поезда равно приблизительно 42,5 м/c²

Примечание:

$\overrightarrow{a_{\tau}} \perp \overrightarrow{a_{n}}$

Объяснение:

Дано:

R = 100 м

$x = Ct^{3}$

$C =$ 10 м/с³

$v =$ 54 км/ч = 15 м/c

Найти:

$a \ - \ ?$

--------------------------------------

Решение:

Механический смысл производной:

$v = x' = (Ct^{3})' = 3Ct^{2}$ - скорость от времени

$a = x'' = (Ct^{3})'' = ((Ct^{3})')' = (3Ct^{2})' = 6Ct$

Нормальное ускорение (центростремительное):

$\boxed{a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R}}$

Для нахождения тангенциального ускорения составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{a_{\tau} = 6Ct} \atop {v=3Ct^{2} }} \right \ \left \{ {{a_{\tau} = 6Ct} \atop {t = \sqrt{\dfrac{v}{3C} } }} \right \Longrightarrow \boxed{ {a_{\tau} = 6C\sqrt{\dfrac{v}{3C}} }}$

Полное ускорение:

$a = \sqrt{a_{\tau}^{2} + a_{n}^{2}} = \sqrt{ \Bigg(6C\sqrt{\dfrac{v}{3C}} \Bigg)^{2} + \Bigg(\dfrac{v^{2}}{R} \Bigg)^{2} } = \sqrt{\dfrac{36vC^{2}}{3C} + \dfrac{v^{4}}{R^{2}} } =\sqrt{v \Bigg(12C + \dfrac{v^{3}}{R^{2}} \Bigg)}$

$\boldsymbol{\boxed{a = \sqrt{v \Bigg(12C + \dfrac{v^{3}}{R^{2}} \Bigg)}}}$

Расчеты:

$\boldsymbol a =$ √(15 м/c(12 · 10 м/с³ + (3 375 м³/с³ / 10 000 м²) )) $\boldsymbol \approx$ 42,5 м/c²

Ответ: $a \approx$ 42,5 м/c².

Answer 2

Для решения этой задачи сначала найдем скорость поезда, а затем полное ускорение в момент, когда его скорость составляет 54 км/ч.

1. Найдем скорость поезда (v) в момент времени t. Мы знаем, что x = Ct³, где x - координата поезда, C - постоянная величина. Чтобы найти скорость, дифференцируем это уравнение по времени:

dx/dt = 3Ct².

Теперь у нас есть выражение для скорости в зависимости от времени.

2. Теперь мы хотим найти момент времени (t), когда скорость (v) составляет 54 км/ч. Для этого преобразуем скорость из км/ч в м/с:

1 км/ч = 1000 м/3600 сек = 5/18 м/с.

Таким образом, скорость 54 км/ч равна:

v = (54 * 5/18) м/с = 15 м/с.

3. Теперь подставим значение скорости (v) в уравнение для скорости:

15 м/с = 3Ct².

Теперь найдем значение времени (t):

t² = 15 м/с / (3C) = 5 м/с / C.

t = sqrt(5 / C).

4. Теперь найдем полное ускорение (α) в момент времени t. Для этого сначала найдем производную скорости (dv/dt) по времени:

dv/dt = d/dt (3Ct²) = 6Ct.

Теперь подставим значение времени (t), которое мы нашли ранее:

dv/dt = 6C * sqrt(5 / C).

dv/dt = 6 * sqrt(5C).

Теперь у нас есть значение производной скорости по времени. Это и есть полное ускорение поезда (α) в момент времени t.

α = dv/dt = 6 * sqrt(5C).

Теперь, чтобы найти значение α, нам нужно знать значение постоянной C, которая равна 10 м/с³, как указано в условии:

α = 6 * sqrt(5 * 10 м/с³) = 6 * sqrt(50) = 6 * 5√2 ≈ 42,43 м/с².

Ответ округлен до одного десятого:

α ≈ 4,2 м/с².