Question

Во сколько раз жесткость пружинного маятника, имеющего период 0,4 сек, отличается от жесткости маятника, период которого 0,5 секунд, если массы грузов обоих маятников одинаковы?

Answer 1

Ответ:

в 1,5625 раз

Объяснение:

Пусть период первого маятника T1, тогда для второго это T2, жесткость первого и второго k1 и k2. Тогда для первого маятника период находится как $T1=2\pi \frac{\sqrt{m} }{\sqrt{k1} }$. а для второго $T2=2\pi \frac{\sqrt{m} }{\sqrt{k2} }$. Выделяя из каждого уравнения жесткость получаем $k1=4\pi ^{2} \frac{m}{T1^{2} }$ и $k2=4\pi ^{2} \frac{m}{T2^{2} }$. Поделив жесткость первого маятника на второе получаем  $\frac{T2^{2} }{T1^{2} } =\frac{0,25}{0,16}=1,5625$

Answer 2

Для определения отношения жесткостей пружинных маятников с разными периодами, мы можем использовать следующую формулу:

Период колебаний пружинного маятника (T) связан с его жесткостью (k) и массой груза (m) по формуле: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Для двух маятников с одинаковыми массами грузов (пусть $m_1 = m_2 = m$), отношение их жесткостей можно записать следующим образом: $\frac{k_1}{k_2} = \frac{m}{T_1^2} \cdot \frac{T_2^2}{m} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$

Где $T_1$ и $T_2$ - периоды первого и второго маятников соответственно.

Итак, чтобы найти отношение жесткостей, достаточно возвести отношение периодов второго маятника ко времени первого маятника в квадрат: $\frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{0.5\ \text{сек}}{0.4\ \text{сек}}\right)^2$

Выполняя вычисления: $\frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \approx 1.5625$

Таким образом, жесткость маятника с периодом 0,4 секунды отличается от жесткости маятника с периодом 0,5 секунды примерно в 1,56 раза.