Question

Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника массой 10 г имеет вид x=10cos(10πt+π/4)см. Определите: 1)период колебаний;2) циклическую частоту колебаний; 3) частоту колебаний;4) жесткость пружины;5) скорость маятника в момент времени t=T/4; 6) максимальную скорость маятника; 7) ускорение маятника в момент времени t=T/4; 8) максимальное ускорение маятника; 9) потенциальную энергию маятника в момент времени t=T/4; 10) максимальную потенциальную энергию маятника; 11) кинетическую энергию маятника в момент времени t=T/4; 12) максимальную кинетическую энергию маятника; 13) полную энергию маятника

Answer 1

1) Циклическая частота колебаний ω=10π рад/с

Период:

$\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega}=\frac{2\pi }{10\pi } =0.2$ с

2) 10π рад/с

3) Частота колебаний:

$\displaystyle \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.2}=5$ Гц

4) Жесткость пружины можно найти из формулы для периода колебаний пружинного маятника:

$\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k} } => k=\frac{4\pi ^2m}{T^2} = \frac{4*3.14^2*0.01}{0.2^2}=9.87$ Н/м

5) Скорость найдем как первую производную координаты по времени:

$\displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}x(t)=-100\pi sin(10\pi t+\frac{\pi }{4} )$ см/с

в указанный момент времени:

$\displaystyle v(0.05)=-100\pi sin(10\pi *0.05+\frac{\pi }{4} )=-222$ см/с

6) Максимальная скорость равна 100π см/с

7) Ускорение найдем как первую производную скорости по времени:

$\displaystyle a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=-1000\pi^2 cos(10\pi t+\frac{\pi }{4} )$ см/с²

В указанный момент времени:

$\displaystyle a(0.05)=-1000\pi^2 cos(10\pi *0.05+\frac{\pi }{4} )=6979$ см/с²

8) Максимальное ускорение маятника 1000π² см/с²

9) Найдем смещение маятника в этот момент:

$\displaystyle x(0.05)=10*cos(10\pi *0.05+\frac{\pi }{4} )=-7.07$ см

Потенциальная энергия:

$\displaystyle E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{9.87*0.0707^2}{2}=0.025$ Дж

10) Учтем, что амплитуда колебаний 0,1 м:

$\displaystyle E_p_0=\frac{9.87*0.1^2}{2}=0.05$ Дж

11) По закону сохранения энергии:

$\displaystyle E_k(T/4)=E_{p0}-E_p=0.05-0.025=0.025$ Дж

12) Максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной, т.е 0,05 Дж

13) Полная также равна 0,05 Дж.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся основные формулы, связанные с гармоническими колебаниями и пружинными системами.

Данное уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A * cos(ωt + φ), где

• x - смещение (перемещение) от положения равновесия,
• A - амплитуда колебаний,
• ω - циклическая частота (радианы в секунду),
• t - время,
• φ - начальная фаза (фазовый угол).

В данном уравнении x = 10cos(10πt + π/4)см:

• A = 10 см,
• ω = 10π рад/с,
• φ = π/4 рад.

Теперь по порядку решим задачу:

1. Период колебаний (T) выражается как T = 2π / ω. Подставим значение ω: T = 2π / 10π = 0.2 с.

2. Циклическая частота (ω) уже известна: ω = 10π рад/с.

3. Частота колебаний (f) связана с периодом: f = 1 / T = 5 Гц.

4. Жесткость пружины (k) связана с циклической частотой и массой (m) маятника: k = mω^2 = 10 * (10π)^2 = 1000π^2 Н/м.

5. Скорость маятника в момент времени t = T/4: v = -Aω * sin(ωt + φ) = -10 * 10π * sin(π/2 + π/4) = -100π см/с.

6. Максимальная скорость маятника равна амплитуде умноженной на циклическую частоту: vmax = A * ω = 10 * 10π = 100π см/с.

7. Ускорение маятника в момент времени t = T/4: a = -Aω^2 * cos(ωt + φ) = -10 * (10π)^2 * cos(π/2 + π/4) = 1000π^2 см/с².

8. Максимальное ускорение маятника равно амплитуде умноженной на квадрат циклической частоты: amax = A * ω^2 = 10 * (10π)^2 = 1000π^2 см/с².

9. Потенциальная энергия маятника в момент времени t = T/4: U = (1/2)kx^2 = (1/2) * 1000π^2 * (10 cos(π/4))^2 = 2500π^2 Дж.

10. Максимальная потенциальная энергия маятника равна амплитуде потенциальной энергии: Umax = 2500π^2 Дж.

11. Кинетическая энергия маятника в момент времени t = T/4: K = (1/2)mv^2 = (1/2) * 0.01 * (-100π)^2 = 500π^2 * 0.01 Дж.

12. Максимальная кинетическая энергия маятника равна амплитуде кинетической энергии: Kmax = 500π^2 * 0.01 Дж.

13. Полная энергия маятника в любой момент времени (по закону сохранения энергии) остается постоянной: E = U + K = const.

Если вы хотите более точные численные значения, подставьте соответствующие числа в вышеприведенные формулы.