Question

Уровнение колебаний пружинного маятника массой 5 ​​кг имеет вид: х = 0,2сos10 t. Определите: 1) циклическую частоту и период колебаний маятника; 2) жесткость пружины маятника; 3) полную механическую энергию колебаний; 4) смещение, кинетическую и потенциальную энергит маятника через 0,025 с​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

m=5 кг    x=0.2*cos(10*t)   А=0,2 м   t=0.025 c

===

1) ω=10 рад

T=2*π/ω=0.628 c

=========

2) k=ω²*m=10²*5=500 Н/м

=========================

3) W=k*A²/2=500*0.2²/2=100 Дж

=====================

4) x=0.2*cos(10*0.025)=0.14 м

V= - 0.2*ω*sin(ω*t)= - 0.2*10*0.7=-1.4 м/с

Wk=m*V²/2=5*1.4²/2=4.9 Дж

Wn=W-Wk=100-4.9=95.1 Дж

================================

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать следующие формулы и концепции:

1. Уравнение колебаний пружинного маятника: $x(t) = A \cos(\omega t),$ где

   • $x(t)$ - смещение маятника в момент времени $t$,
   • $A$ - амплитуда колебаний (в данном случае 0,2 м),
   • $\omega$ - циклическая частота (радианы в секунду),
   • $t$ - время (секунды).

2. Циклическая частота ($\omega$) связана с периодом ($T$) следующим образом: $\omega = \frac{2\pi}{T}.$

3. Жесткость пружины ($k$) связана с циклической частотой ($\omega$) и массой ($m$) маятника следующим образом: $k = m \cdot \omega^2.$

4. Полная механическая энергия ($E$) маятника в данном моменте времени равна сумме его кинетической ($K$) и потенциальной ($U$) энергий: $E = K + U.$

   • Кинетическая энергия: $K = \frac{1}{2} m v^2,$ где $v$ - скорость маятника.
   • Потенциальная энергия (энергия пружины): $U = \frac{1}{2} k x^2.$

5. Для нахождения смещения ($x$), кинетической ($K$) и потенциальной ($U$) энергий в момент времени $t$, мы будем использовать данное уравнение колебаний $x(t) = A \cos(\omega t)$.

Теперь давайте решим задачу по пунктам:

1. Циклическая частота и период колебаний маятника:

Из уравнения колебаний $x(t) = A \cos(\omega t)$ видно, что $\omega = 10$ рад/с. Теперь мы можем найти период колебаний ($T$) с использованием формулы $\omega = \frac{2\pi}{T}$: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \approx 0,628\text{ сек}.$

2. Жесткость пружины маятника:

Используя формулу $k = m \cdot \omega^2$, мы можем вычислить жесткость пружины: $k = 5 \cdot (10^2) = 500 \text{ Н/м}.$

3. Полная механическая энергия колебаний:

Для нахождения полной механической энергии ($E$) маятника, нам нужно знать скорость ($v$) и смещение ($x$) в момент времени $t$. Мы можем использовать уравнение колебаний $x(t) = A \cos(\omega t)$ для нахождения этих значений в момент времени $t = 0,025$ сек.

$x(0.025) = 0.2 \cos(10 \cdot 0.025) = 0.2 \cos(0.25) \approx 0.196\text{ м}.$

Теперь найдем скорость ($v$) в момент времени $t = 0.025$ сек. Для этого нужно взять производную от $x(t)$ по времени:

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t).$

$v(0.025) = -0.2 \cdot 10 \cdot \sin(10 \cdot 0.025) = -2 \sin(0.25) \approx -0.492\text{ м/с}.$

Теперь мы можем найти кинетическую и потенциальную энергии:

• Кинетическая энергия ($K$): $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (-0.492)^2 \approx 1.2075\text{ Дж}.$

• Потенциальная энергия ($U$): $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot (0.196)^2 \approx 9.61\text{ Дж}.$

Теперь мы можем перейти к четвертому пункту:

4. Смещение, кинетическая и потенциальная энергия маятника через $0.025$ с:

• Смещение ($x$) в момент времени $t = 0.025$ сек: $x(0.025) \approx 0.196\text{ м}.$

• Кинетическая энергия ($K$) в момент времени $t = 0.025$ сек: $K \approx 1.2075\text{ Дж}.$