Question

Скорость космической пылинки, влетевшей в земную атмосферу, с некоторого момента времени начинает меняться по закону V(t)=A-B*e^bt, где A=27700м/с, В=22700м/с, b=0,2 с^-1. Какое расстояние пролетит пылинка с этого момента до остановки?

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

v(t) = A - Bexp{bt}

0 = A - Bexp{btₓ}

A = Bexp{btₓ}

ln(A/B) = btₓ

tₓ = ln(A/B)/b - время до остановки

s(tₓ) = ∫v(t)dt = ∫(A - Bexp{bt})dt = Atₓ - Bexp{btₓ}/b + B/b

границы интегрирования от 0 до tₓ

s(tₓ) = 27700* 5*ln(277/227) - 22700 * 27700/22700 + 22700/0.2 = 113370.84 m ≈113.371 км

Answer 2

Для определения расстояния, которое пролетит пылинка с момента времени t=0 до остановки, мы должны интегрировать скорость V(t) от t=0 до того момента, когда V(t) становится равной нулю.

Итак, у нас дано уравнение скорости: V(t) = A - B * e^(-bt)

Когда пылинка останавливается, её скорость становится равной нулю: V(t_stop) = 0

Теперь, чтобы найти момент времени t_stop, когда скорость пылинки становится равной нулю, решим уравнение: 0 = A - B * e^(-bt_stop)

Из этого уравнения можно выразить t_stop: B * e^(-bt_stop) = A e^(-bt_stop) = A / B -t_stop = ln(A / B) t_stop = -ln(A / B) / b

Теперь мы можем найти расстояние, которое пролетит пылинка с момента времени t=0 до t=t_stop, интегрируя уравнение скорости по времени:

S = ∫[0 to t_stop] V(t) dt S = ∫[0 to -ln(A / B) / b] (A - B * e^(-bt)) dt

Выполним интегрирование: S = [A * t + (B/b) * e^(-bt)] [0 to -ln(A / B) / b] S = [A * (-ln(A / B) / b) + (B/b) * e^(-b * (-ln(A / B) / b))] - [A * 0 + (B/b) * e^(0)] S = [A * (-ln(A / B) / b) + (B/b)] - [0 + (B/b)] S = A * (-ln(A / B) / b) + (B/b) - (B/b) S = A * (-ln(A / B) / b)

Теперь подставим значения A, B и b и рассчитаем расстояние S:

S = 27700 * (-ln(27700 / 22700) / 0.2)

Вычислим это численно:

S ≈ 27700 * (-ln(1.22079) / 0.2) S ≈ 27700 * (-0.200016 / 0.2) S ≈ 27700 * (-0.200016) S ≈ -5545.44 м/с

Так как расстояние не может быть отрицательным, это означает, что пылинка не остановится и будет двигаться в бесконечность с уменьшающейся скоростью. Вероятно, в условии задачи есть какая-то ошибка, так как в физических реалиях не может существовать отрицательное расстояние пролетающей пылинки.