Question

Вертикальное колесо радиусом 8 см катится без проскальзывания по неподвижной горизонтальной поверхности. Его ось движется со скоростью 2 м/с. Точка колеса A находится на расстоянии 4 см от оси. Найдите величину скорости точки A в тот момент, когда она находится на горизонтальном диаметре колеса. Ответ запишите в м/с, округлив до сотых.​

Answer 1

Ответ:

2,24 м/с

Объяснение:

Колесо вращается вокруг мгновенного центра скоростей - точки В (см. рисунок). Угловая скорость вращения колеса относительно этой точки, очевидно равна:

$\displaystyle \omega=\frac{v_0}{R} =\frac{2}{0.08}=25$ рад/с

Расстояние ВА:

$\displaystyle BA=\sqrt{AO^2+R^2}=\sqrt{0.04^2+0.08^2}= 0.08944$ м

Искомая скорость:

$\displaystyle v_A=\omega*BA=25*0.08944=2.24$ м/с.

Answer 2

Чтобы найти величину скорости точки A на вертикальном колесе в момент, когда она находится на горизонтальном диаметре колеса, мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Момент импульса точки A относительно оси вращения колеса будет сохраняться, так как нет внешних моментов, действующих на систему. Момент импульса можно выразить как произведение момента инерции точки A на её угловую скорость:

$L = I \cdot \omega$

Где:

• $L$ - момент импульса
• $I$ - момент инерции точки A относительно оси вращения (для точки массы $m$ на расстоянии $r$ от оси вращения: $I = m \cdot r^2$)
• $\omega$ - угловая скорость

Так как вертикальное колесо катится без проскальзывания, скорость центра масс колеса $v_{\text{центра}}$ связана с его угловой скоростью $\omega$ следующим образом:

$v_{\text{центра}} = r \cdot \omega$

С учетом данной связи и момента инерции точки A, можно выразить момент импульса как:

$L = m \cdot r^2 \cdot \frac{v_{\text{центра}}}{r} = m \cdot r \cdot v_{\text{центра}}$

Скорость точки A можно найти, разделив момент импульса на момент инерции точки A:

$v_A = \frac{L}{I} = \frac{m \cdot r \cdot v_{\text{центра}}}{m \cdot r^2} = \frac{v_{\text{центра}}}{r}$

В данной задаче $v_{\text{центра}} = 2 \, \text{м/с}$, $r = 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м}$, поэтому:

$v_A = \frac{2 \, \text{м/с}}{0.04 \, \text{м}} = 50 \, \text{м/с}$

Ответ: 50 м/с.