Question

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми а=0,в=2,осью ох, и графиком функции f(x)=x3+1

Answer 1

Ответ:

$6$

Пошаговое объяснение:

Площадь криволинейной трапеции ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=a$ и $x=b$ (то есть от $a$ до $b$) и графиком функции $y=f(x)$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$\displaystyle S = \int\limits^b_a f(x)\,dx$

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=x^3+1$, осью $Ox$ от $a=0$ до $b=0$. Запишем интеграл

$\displaystyle S = \int\limits^b_a f(x)\,dx = \int\limits^2_0 \big(x^3+1\big)\,dx$

Вспомним формулу $\int(f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx$

$\displaystyle =~\int\limits^2_0 x^3\,dx+\int\limits^2_0 1\,dx$

Теперь нам в помощь формулы  $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ и $\int 1\,dx=x+C$

$=~\dfrac{x^4}4+x~\bigg|\limits^2_0=\dfrac{2^4}{4}+2-\dfrac{0^4}{4}-0=4+2=6$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми a=0, b=2, осью OX и графиком функции f(x) = x^3 + 1, мы можем воспользоваться определенным интегралом.

Нахождение площади между двумя кривыми

Для начала, найдем точки пересечения графика функции f(x) = x^3 + 1 с прямыми a = 0 и b = 2. Так как a = 0, то одна из прямых является осью OX, и точка пересечения будет равна (0, 1). Решим уравнение x^3 + 1 = 2 для нахождения второй точки пересечения: x^3 = 1 x = 1

Таким образом, точки пересечения графика функции f(x) = x^3 + 1 с прямыми a = 0 и b = 2 равны (0, 1) и (1, 2).

Нахождение площади криволинейной трапеции

Теперь мы можем найти площадь криволинейной трапеции, используя определенный интеграл. Обозначим функцию f(x) = x^3 + 1 как y = f(x). Тогда площадь криволинейной трапеции будет равна разности интегралов двух функций, ограниченных прямыми a = 0 и b = 2.

S = ∫[a,b] |f(x)| dx - ∫[a,b] |g(x)| dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В нашем случае, верхняя функция f(x) = x^3 + 1, а нижняя функция g(x) = 0 (ось OX).

Теперь мы можем вычислить значения интегралов:

∫[0,1] (x^3 + 1) dx - ∫[0,1] 0 dx + ∫[1,2] (x^3 + 1) dx - ∫[1,2] 0 dx

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

∫[0,1] x^3 dx + ∫[0,1] 1 dx + ∫[1,2] x^3 dx + ∫[1,2] 1 dx

= (1/4)x^4 + x | [0,1] + (1/4)x^4 + x | [1,2]

Подставим значения верхней и нижней границы:

= (1/4)(1^4) + 1 - (1/4)(0^4) + 0 + (1/4)(2^4) + 2 - (1/4)(1^4) + 1

= 1/4 + 1 + 1/4 + 2 + 1/4 + 2 - 1/4 - 1

= 5/4 + 5/4 + 5/4 - 1/4

= 15/4 - 1/4

= 14/4

= 7/2

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми a = 0, b = 2, осью OX и графиком функции f(x) = x^3 + 1, равна 7/2.