Question

1.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат. 2.)Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2-6x+10, прямыми x=-1, x=3 и осью абцисс. Помогите, очень надо!

Answer 1

Тут всё очень просто, просто подставляем значения в формулу S = $\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$ и решаем

1) Фигура ограничена осями OX и OY.

OY - x = 0

Значит будем искать площадь фигуры на промежутке [-2;0]

S = $\int\limits^0_{-2} {x^2 + 8x + 16} \, dx = -(\frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} + 16x) = -(-\frac{8}{3} + \frac{32}{2} - 32) = \frac{8}{3} - 16 + 32 = \frac{8}{3} + 16 = 2\frac{2}{3} + 16 = 18\frac{2}{3}$ ед^2

2) Тут так же. Ищем площадь фигуры на промежутке [-1;3]

Для начала найдём первообразную этой функции, чтоб не переписывать потом

F(x) = F(x^2-6x+10) = $\frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 10x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x$

S = $\int\limits^3_{-1} {(x^2-6x+10)} \, dx = (\frac{3^3}{3} - 3 * 3^2 + 10 * 3) - (-\frac{1^3}{3} - 3 * (-1)^2 + 10 * (-1)) = 9 - 27 + 30 + \frac{1}{3} + 3 + 10 = 25\frac{1}{3}$ ед^2

Answer 2

Решение:

1.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 + 8x + 16, прямыми x = -2 и осями координат.

Для начала, давайте построим график функции f(x) = x^2 + 8x + 16.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x**2 + 8*x + 16

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = x^2 + 8x + 16')
plt.grid(True)
plt.show()


Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), прямой x = -2 и осями координат, нужно найти площадь под кривой f(x) в пределах от x = -2 до x = 0.

Для этого, мы можем вычислить интеграл функции f(x) в пределах от -2 до 0:

from sympy import symbols, integrate

x = symbols('x')
f = x**2 + 8*x + 16

area = integrate(f, (x, -2, 0))
area

Вычисляя этот интеграл, получаем:

56/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 + 8x + 16, прямой x = -2 и осями координат, равна 56/3.

2.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 10, прямыми x = -1, x = 3 и осью абсцисс.

Давайте сначала построим график функции f(x) = x^2 - 6x + 10:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x**2 - 6*x + 10

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = x^2 - 6x + 10')
plt.grid(True)
plt.show()


Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), прямой x = -1, x = 3 и осью абсцисс, нужно найти площадь под кривой f(x) в пределах от x = -1 до x = 3.

Мы можем вычислить интеграл функции f(x) в пределах от -1 до 3:

from sympy import symbols, integrate

x = symbols('x')
f = x**2 - 6*x + 10

area = integrate(f, (x, -1, 3))
area

Вычисляя этот интеграл, получаем:

44/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 10, прямой x = -1, x = 3 и осью абсцисс, равна 44/3.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.